在三角形ABC中,已知acosA＋bcosB＝ccosC.a＝2bcosc 判断三角形形状?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/25 07:11:10

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∵acosA+bcosB=ccosC
∴sinAcosA+sinBcosB=sinCcosC
∴sin2A+sin2B=sin2C=sin(2π-2A-2B)=-sin(2A+2B)
∴0=sin2A+sin2B+sin(2A+2B)
=sin2A+sin2B+sin2Acos2B+sin2Bcos2A
=sin2A(1+cos2B)+sin2B(1+cos2A)
=4sinAcosA(cosB)^2+4sinBcosB(cosA)^2
=4cosAcosBsin(A+B)
∵sin(A+B)=sin(π-C)=sinC>0
∴cosA=0或cosB=0
∴A=π/2或B=π/2
∴△ABC是直角三角形
a=2bcosc
根据余弦定理有
a=2b*(a^2+b^2-c^2)/2ab=a^2+b^2-c^2/a
则有a^2=a^2+b^2-c^2
则有b=c
此三角形的形状是等腰三角形
综上所述,三角形是等腰直角三角形
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