求证：整除性问题,当n∈N时,f(n)=(2n+7)3^n+9能被36整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 08:21:05
求证：整除性问题,当n∈N时,f(n)=(2n+7)3^n+9能被36整除
求证：整除性问题,当n∈N时,f(n)=(2n+7)3^n+9能被36整除
求证：整除性问题,当n∈N时,f(n)=(2n+7)3^n+9能被36整除
数学归纳法
n=1:f(n)=9*3+9=36
n=2:f(n)=11*(3^2)+9=108=36*3
...
n=k:f(n)=(2k+7)*3^k+9假设可被36整除
n=k+1:f(n)=(2k+9)*(3^(k+1))+9
=3*(2k+9)*3^k+9
=3*(2k+7)*3^k+9+3*2*3^k
=2*(2k+7)^3^k+((2k+7)*3^k+9)+2*3^(k+1)
=(3^k)*(4k+14+6)+ ((2k+7)*3^k+9)
这样看,前一项显然可被36整除 后一项是上一步假设的 所以f(k+1)可以被36整除
所以f(n)可以被36整除
数学归纳法：
1.证明第一项成立
2.假设第n项成立
3.证明第n+1项成立
可以用数学归纳法证明啊！（1）当n=1的时候显然成立，（2）假设n=k的时成立，
即f（k)=(2k+7)3^k+9能被36整除，当n=k+1时，f（k+1）=[2(k+1)+7]3^(k+1)+9=3[(2k+7)3^k+9]+2*3(k+1)-18=3[(2k+7)3^k+9]+36{[3^(k-1)-1]/2}
而3^(k-1)-1是偶数，所以当n=k+1时成立，综（1）（2...
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可以用数学归纳法证明啊！（1）当n=1的时候显然成立，（2）假设n=k的时成立，
即f（k)=(2k+7)3^k+9能被36整除，当n=k+1时，f（k+1）=[2(k+1)+7]3^(k+1)+9=3[(2k+7)3^k+9]+2*3(k+1)-18=3[(2k+7)3^k+9]+36{[3^(k-1)-1]/2}
而3^(k-1)-1是偶数，所以当n=k+1时成立，综（1）（2）得证。
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