已知如图,△ABC内接⊙O,AB为直径,线CE⊥AB于F,C是AD的中点,连接BD并延长EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q.1.求证：P是△ACQ的外心；2.若tan∠ABC=3/4,CF=8,求CQ的长；3.求证：（FP+PQ）²=F
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 15:43:47
已知如图,△ABC内接⊙O,AB为直径,线CE⊥AB于F,C是AD的中点,连接BD并延长EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q.1.求证：P是△ACQ的外心；2.若tan∠ABC=3/4,CF=8,求CQ的长；3.求证：（FP+PQ）²=F
已知如图,△ABC内接⊙O,AB为直径,线CE⊥AB于F,C是AD的中点,连接BD并延长EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q.
1.求证：P是△ACQ的外心；
2.若tan∠ABC=3/4,CF=8,求CQ的长；
3.求证：（FP+PQ）²=FP×FG
图片：
PS：前两个问题可以不用答……如果答的话可以追加30分……谢了.
已知如图,△ABC内接⊙O,AB为直径,线CE⊥AB于F,C是AD的中点,连接BD并延长EC的延长线于点G,连接AD,分别交CE、BC于点P、Q.1.求证：P是△ACQ的外心；2.若tan∠ABC=3/4,CF=8,求CQ的长；3.求证：（FP+PQ）²=F
（1）由于AB是⊙O的直径,则∠ACB=90°,只需证明P是Rt△ACQ斜边AQ的中点即可；由垂径定理易知弧AC=弧AE,而C是弧AD的中点,那么弧CD=弧AE,即∠PAC=∠PCA,根据等角的余角相等,还可得到∠AQC=∠PCQ,由此可证得AP=PC=PQ,即P是△ACQ的外心；
（2）由（1）的相等弧可知：∠ABC=∠ACE=∠CAQ,那么它们的正切值也相等；在Rt△CAF中,根据CF的长及∠ACF的正切值,通过解直角三角形可求得AC的长,进而可在Rt△CAQ中,根据∠CAQ的正切值求出CQ的长；
（3）由（1）知：PQ=CP,则所求的乘积式可化为：PC²=FP×FG；在Rt△ACB中,由射影定理得：PC²=AF×FB,因此只需证明AF×FB=FG×FP即可,将上式化成比例式,证线段所在的三角形相似即可,即证Rt△AFP∽Rt△GFB．
（1）证明：∵C是 AD的中点,∴ AC²=CD²,
∴∠CAD=∠ABC
∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°．
∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE⊥AB,∴∠ABC+∠PCQ=90°
∴∠AQC=∠PCQ
∴在△PCQ中,PC=PQ,
∵CE⊥直径AB,∴ AC²=AE²
∴ AE²=CD²
∴∠CAD=∠ACE．
∴在△APC中,有PA=PC,
∴PA=PC=PQ
∴P是△ACQ的外心．
（2）∵CE⊥直径AB于F,
∴在Rt△BCF中,由tan∠ABC= CF/BF=3/4,CF=8,
得 BF=4/3CF=32/3．
∴由勾股定理,得 BC=CF²+BF²=40/3
∵AB是⊙O的直径,
∴在Rt△ACB中,由tan∠ABC= AC/BC=3/4, BC=40/3
得 AC=3/4BC=10．
易知Rt△ACB∽Rt△QCA,∴AC²=CQ×BC
∴ CQ=AC²/BC=15/2．
（3）证明：∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°
∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF⊥AB,∴∠ABG+∠G=90°
∴∠DAB=∠G；
∴Rt△AFP∽Rt△GFB,
∴ AFFG=FPBF,即AF×BF=FP×FG
易知Rt△ACF∽Rt△CBF,
∴FG²=AF×BF（或由射影定理得）
∴FC²=PF×FG
由（1）,知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC
∴（FP+PQ）²=FP×FG