证明:任意两奇数的平方差能被8整除
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 20:45:11
证明:任意两奇数的平方差能被8整除
证明:任意两奇数的平方差能被8整除
证明:任意两奇数的平方差能被8整除
设任何奇数为2m-1,2n-1(m,n是整数)则
(2m-1)^2-(2n-1)^2
=4m^2-4m-4n^2+4n
=4(m^2-n^2-m+n)
=4[(n+n)(m-n)-(m-n)]
=4(m-n)(m+n-1)
可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可.
若m,n都是奇数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n都是偶数,则m-n为偶数,所以能被8整除
若m,n一奇一偶,则m+n-1是偶数,所以能被8整除
所以不管什么情况,都有4(m-n)(m+n-1)被8整除
故任意两奇数的平方差能被8整除
设两个连续奇数为2n-1,2n+1,
则(2n+1)^2-(2n-1)^2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n,
故能被8整除.
证明:设x=2m-1,y=2n-1(m、n∈Z)为任意两奇数,
则x²-y²=4(m-n)(m+n-1),
因为(m-n)与(m+n-1)中必是一奇一偶,所以x²-y²必为8的倍数,
即任意两奇数的平方差能被8整除。
设m、n为任意自然数,m大于n,则2m+1、2n+1为奇数,两者平方差为
4m(m+1)-4n(n+1)=4【m(m+1)-n(n+1)】-----------1
明显m(m+1)必为偶数,令m(m+1)=2a-----(a为自然数)
同理n(n+1)必为偶数,令n(n+1)=2b-----(b为自然数)
可知a-b为自然数
1式可写为4(2a-2...
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设m、n为任意自然数,m大于n,则2m+1、2n+1为奇数,两者平方差为
4m(m+1)-4n(n+1)=4【m(m+1)-n(n+1)】-----------1
明显m(m+1)必为偶数,令m(m+1)=2a-----(a为自然数)
同理n(n+1)必为偶数,令n(n+1)=2b-----(b为自然数)
可知a-b为自然数
1式可写为4(2a-2b)=8(a-b),得证
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