用分析法、综合法分别来证明这道题!求证a+b/2≤(a^2+b^2/2)的平方根其中,a.b都是正数

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 09:42:18
用分析法、综合法分别来证明这道题!求证a+b/2≤(a^2+b^2/2)的平方根其中,a.b都是正数用分析法、综合法分别来证明这道题!求证a+b/2≤(a^2+b^2/2)的平方根其中,a.b都是正数

用分析法、综合法分别来证明这道题!求证a+b/2≤(a^2+b^2/2)的平方根其中,a.b都是正数
用分析法、综合法分别来证明这道题!
求证a+b/2≤(a^2+b^2/2)的平方根
其中,a.b都是正数

用分析法、综合法分别来证明这道题!求证a+b/2≤(a^2+b^2/2)的平方根其中,a.b都是正数
分析法:由结论推到条件.
因为:
a+b/2≤√[(a^2+b^2/2)],a.b都是正数 ,两边平方得,
(a^2+b^2+2ab)/4≤(a^2+b^2)/2,
(a^2+b^2+2ab)≤2(a^2+b^2),
2ab≤a^2+b^2,
而,0≤(a-b)^2,只有仅当a=b时,取等号,不等式显然成立.
即有,
(a+b)/2≤√[(a^2+b^2/2)],成立.
综合法:就是由已知条件,推到结论.
因为:
a.b都是正数,
(a-b)^2≥0,当且仅当a=b时,不等式取等号,不等式显然成立,
a^2+b^2≥2ab也成立,
在不等到式两边同时加上a^2+b^2得,
2(a^2+b^2)≥a^2+b^2+2ab,成立,
在不等式的两边同时除以4得,
(a^2+b^2)/2≥(a+b)^2/4,成立,
两边同时开平方根得,
√[(a^2+b^2)/2]≥√[(a+b)^2/4]=(a+b)/2,成立,
即有,(a+b)/2≤√[(a^2+b^2/2)],成立.
原不等式成立,得证.

[(a+b)/2]²=(a²+2ab+b²)/4,
[(a²+b²)/2的平方根]²=(a²+b²)/2。
(a²+2ab+b²)/4-(a²+b²)/2=-1/4(a-b)²≤0。
所以(a+b)/2≤(a²+b²)/2的平方根。