如图①,△ABC为等边三角形,面积为S.D1、E1、F1分别是 三边上的点,且AD1=BE1=CF1=二分之一AB,连结D1E1（1）用S表示△AD1F1的面积S1= △D1F1E1的面积S1‘= ；（2）当D2、E2、F2分别是等边 三边上的点，且A

如图①,△ABC为等边三角形,面积为S.D1、E1、F1分别是 三边上的点,且AD1=BE1=CF1=二分之一AB,连结D1E1（1）用S表示△AD1F1的面积S1= △D1F1E1的面积S1‘= ；（2）当D2、E2、F2分别是等边 三边上的点，且A
如图①,△ABC为等边三角形,面积为S.D1、E1、F1分别是 三边上的点,且AD1=BE1=CF1=二分之一AB,连结D1E1
（1）用S表示△AD1F1的面积S1= △D1F1E1的面积S1‘= ；
（2）当D2、E2、F2分别是等边 三边上的点，且AD2=BE2=CF2=三分之一AB时，如图②，求△AD2F2的面积S2和△D2E2F2的面积S2’；
（3）按照上述思路探索下去，当Dn，En，Fn分别是等边△ABC三边上的点，且ADn=BEn=CFn=n+1分之一AB时（n为正整数），△ADnFn的面积Sn= △DnEnFn的面积Sn‘=

如图①,△ABC为等边三角形,面积为S.D1、E1、F1分别是 三边上的点,且AD1=BE1=CF1=二分之一AB,连结D1E1（1）用S表示△AD1F1的面积S1= △D1F1E1的面积S1‘= ；（2）当D2、E2、F2分别是等边 三边上的点，且A
（1）设等边△ABC的边长是a,
∵AD1=AF1,∠A=60°,
∴△AD1F1是等边三角形,
同理其余三个三角形都是等边三角形,
∴△AD1F1≌△BE1D1≌△CF1E1≌△D1E1F1,
∴S1= S,S1'= S．
（2）设△ABC的边长为a,则△AD2F2的面积 ,
又因为△ABC的面积 ,所以S2= S,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
又∵AD2=BE2=CF2,AF2=BD2=CE2,
由“SAS”得出△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2,
∴S2′=S-3S2=S-3× S= S．
（3）设△ABC的边长是a,
则Sn= • a• a•sin60°= S,
同理证明△ADnFn≌△BEnDn≌△CFnEn,
∴Sn′=S-3× S= S．

看不懂

不想吐槽，可是，图1在哪里？

（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD2=1 3 AB，BE2=1 3 BC，CF2=1 3 AC
∴AF2=2 3 AC，BD2=2 3 AB
∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2=F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D...

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（1）①∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC，∠A=∠B=60°，（1分）
由已知得AD2=1 3 AB，BE2=1 3 BC，CF2=1 3 AC
∴AF2=2 3 AC，BD2=2 3 AB
∴AD2=BE2，AF2=BD2（2分）
△AD2F2≌△BE2D2（3分）
∴D2E2=F2D2
同理可证△AD2F2≌△CF2E2
F2D2=E2F2（4分）
∴D2E2=E2F2=F2D2
∴△D2E2F2为等边三角形；（5分）
②S2=2 9 S；（6分）S′2=1 3 S．（7分）
（2）由（1）可知：△DnEnFn等边三角形；（8分）
由（1）的方法可知：S2=2 9 S，S3=3 16 S，…Sn=n (n+1)2 S；（9分）
S2′=1 3 S，S3′=7 16 S…Sn′=n2-n+1 n2+2n+1 S．（10分）
这位同学，能看懂吗？

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根据题给的 知道D1 E1 F1 是三边的中点 所以AD1等于AF1 等边三角形 角BAC等于60° 所以等腰三角形AD1F1为等边三角形。 同理 三角形D1E1F1 三角形 BD1E1 三角形 E1F1C 都是等边三角形 由于各个边都相等 所以他们面积都相等。故 4个小全等等边三角形之和为S
所以（1） 三角形AD1F1面积为 1/4 S 三角形 D1F1E1 面积 1/...

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根据题给的 知道D1 E1 F1 是三边的中点 所以AD1等于AF1 等边三角形 角BAC等于60° 所以等腰三角形AD1F1为等边三角形。 同理 三角形D1E1F1 三角形 BD1E1 三角形 E1F1C 都是等边三角形 由于各个边都相等 所以他们面积都相等。故 4个小全等等边三角形之和为S
所以（1） 三角形AD1F1面积为 1/4 S 三角形 D1F1E1 面积 1/4 S
（2） 观察三角形 AD2F2 三角形 BD2E2 三角形 E2F2C 由于 AD2等于 BE2 等于 F2C 而且 BD2等于E2C 等于AF2 并且 角A 等于角B 等于角C ，由两边相等而且他们的夹角相等知道 他们三个是全等三角形。现在研究三角形 AD2F2 知道AF2等于2倍AD2 ，知道角AD2F2是90°，设三角形ABC边为a， 所以三角形ABC 高为二分之根3 a 1/2 乘以a 乘以 二分之根3 a 等于面积s 算出 a的平方等于三分之四倍根3
三角形AD2F2 底AD2 为三分之一a，AF2为三分之二a，计算出高D2F2为三分之根3 倍a，由此三角形AD2F2面积等于 二分之一倍底乘以高 等于1/2 乘以 1/3 a 乘以 三分之根3 a 等于 十八分之跟3 a的平方 ，由于a的平方等于 三分之四倍根3 s，
代入算出 三角形AD2F2面积等于 2/9 S，
由三个全等三角形知道 三角形BD2E2 三角形CE2F2面积 都是2/9 S，
减法算出 三角形D2E2F2 面积为 1/3 S。
（3）按照上两题的思路， 我们知道 无论 n为多少 三角形 AD2F2 三角形 BD2E2 三角形 CE2F2始终是全等三角形。继续研究三角形 AD2F2，作出两条辅助线，作CO，CO是三角形ABC的高 ，作F2I，是三角形 AD2F2的高 ，（CO ,F2I 是平行的 ，这个知道吧 ，画画图就明白） 三角形ABC的高CO 计算过 为二分之根3 a，由三角形 AF2I 和三角形ACO是相似三角形，相似比 AF2比AC等于 F2I比CO ，算出 F2I 等于 2（n+1） 分之 根3倍n乘以a，
所以三角形 AFnDn等于 1/2 乘以 AD2乘以 F2I算出 为（n+1)的平方 分之 n 乘以 s，
继续由减法算出三角形DnEnFn的面积为 S减去 3倍三角形 AFnDn的面积
等于 （n+1）的平方 分之 （n的平方 -n +1)乘以S。

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