代数数系数方程的解一定都是代数数?先根据代数数的定义,整系数方程（有理数也可以）的解.然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:30:02
代数数系数方程的解一定都是代数数?先根据代数数的定义,整系数方程（有理数也可以）的解.然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
代数数系数方程的解一定都是代数数?
先根据代数数的定义,整系数方程（有理数也可以）的解.
然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
代数数系数方程的解一定都是代数数?先根据代数数的定义,整系数方程（有理数也可以）的解.然后,用代数数作为方程的系数,请问这个时候方程的解还是代数数吗?
可以从域扩张的观点来解释.主要利用这么一个事实：a是代数数当且仅当Q(a)是Q的有限次扩域.
假设所考虑的方程是：X^n+a[1]X^(n-1)+...+a[n]=0,其中a[k]都是代数数.则域F=Q(a[1],...,a[n])是Q的有限次扩域,因为它是n个有限次扩张的复合.
现在,令c是上述方程的一个解,则F(c)是F的有限次扩张,其扩张次数不超过n.这样,F(c)也是Q的有限扩域,而Q(c)是F(c)的子域,当然也是Q的有限扩域.于是c是代数数.
注意,这个命题的证明属于抽象代数的内容.要理解证明的内容,至少需要知道这些知识：线性空间、线性相关、（一般）域、域的（有限次）扩张.试图用凑方程系数来解决这个问题是不可取的.
如果只是作为方程系数的话，那么方程的解一定是代数数。
事实上每一个代数数方程可以通过乘以一个代数式变成整系数方程。
比如方程x^2-√2x+1=0可以乘以x^2+-√2x+1变成整数方程。
x^2+2^(1/3)x+1=0可以乘以2^(2/3)x^2 + 2^(1/3)x(x^2+1) + (x^2+1)变成整数方程。
所以每次乘以一个适当的配偶代数式就可以利用a^...
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如果只是作为方程系数的话，那么方程的解一定是代数数。
事实上每一个代数数方程可以通过乘以一个代数式变成整系数方程。
比如方程x^2-√2x+1=0可以乘以x^2+-√2x+1变成整数方程。
x^2+2^(1/3)x+1=0可以乘以2^(2/3)x^2 + 2^(1/3)x(x^2+1) + (x^2+1)变成整数方程。
所以每次乘以一个适当的配偶代数式就可以利用a^n+b^n的分解来消掉一个无理数，从而最后一定能变成整系数方程。
两个代数数的和、差、积与商也是代数数，因此代数数构成了一个域，有时记为A。每一个系数为代数数的多项式方程的根也是代数数。因此，代数数域是代数封闭域。实际上，它是含有有理数的最小的代数封闭域，因此称为有理数的代数闭包。
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