求幂级数的和,用逐项积分或逐项求导求
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 14:18:20
求幂级数的和,用逐项积分或逐项求导求
求幂级数的和,用逐项积分或逐项求导求
求幂级数的和,用逐项积分或逐项求导求
这类题目的思路就是利用求导或者积分,把系数中的n去掉,让它变成纯纯x^n相加的等比级数,这样就好求了,别忘了求出和以后要变回去,比如先求导再求和之后要积一次分,才是真正要求的答案.
(1)前面系数是n,通过积分可以把系数n消掉,
①消去n
∫nx^n-1 dx=x^n（积分常数必然取为0,否则不收敛）
②求和
Σx^n=x/(1-x)这个就是等比级数的求和公式.
③求导还原出最后结果
[x/(1-x)]'=1/(1-x)²
(2)系数是1/n可以通过求导消去
①消去n
[x^n/n]'=x^(n-1)
②求和
Σx^(n-1)=1/(1-x)这个就是等比级数的求和公式.
③积分还原出最后结果
∫1/(1-x) dx=ln(1-x)+C
对比常数项,x=0时应该得0,所以C=0
最后结果是ln(1-x)
(3)还是分母上有n,求导消去
①消去n
[x^(2n+1)/(2n+1)]'=x^(2n)
②求和
Σx^(2n)=1/(1-x²)这个就是等比级数的求和公式（注意n从0开始）.
③积分还原出最后结果,这个积分稍微要算一下,用部分分式展开的办法计算
∫1/(1-x²) dx=1/2 ∫[1/(x+1)+1/(1-x)]dx=1/2 ln[(x+1)/(1-x)]+C
对比常数项,x=0时应该得0,所以C=0
最后结果是1/2 ln[(x+1)/(1-x)]
不保证上面计算都正确,楼主检查检查,总之思路要清楚.
首先收敛域都是(-1,1)
第一题先积分，
=Σ
=x/(1-x)
再求导可得原级数的和函数为1/(1-x)^2
第二题先求导
=Σ
=1/(1-x)
再积个分，注意x=0时级数和=0
可得
和函数<...
全部展开
首先收敛域都是(-1,1)
第一题先积分，
=Σ
=x/(1-x)
再求导可得原级数的和函数为1/(1-x)^2
第二题先求导
=Σ
=1/(1-x)
再积个分，注意x=0时级数和=0
可得
和函数
=ln(1-x)
第三题先求导
=Σ
=1/(1-x^2)
然后积个分，注意x=0时级数和=0
=(1/2)[∫dx/(1-x)+∫dx/(1+x)]
=(1/2)ln[(1+x)/(1-x)]
收起
