请问级数收敛的判别有哪几种?哪个最好用?分别有什么局限?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/27 05:08:47
请问级数收敛的判别有哪几种?哪个最好用?分别有什么局限?
请问级数收敛的判别有哪几种?
哪个最好用?分别有什么局限?
请问级数收敛的判别有哪几种?哪个最好用?分别有什么局限?
上面几楼说的都对,但是都不全.我来说个全一些的.绝非copy党）
首先要说明的是：没有最好用的判别法!所有判别法都是因题而异的,要看怎么出,然后才选择最恰当的判别法.下面是一些常用的判别法：
一、对于所有级数都适用的根本方法是：柯西收敛准则.因为它的本质是将级数转化成数列,从而这是一个最强的判别法,柯西收敛准则成立是级数收敛的充分必要条件.局限性：有一些数列的特征太过明显,可以用更加简洁的判别法去判别,用柯西收敛原理是浪费时间；另一方面,如果级数本身过于复杂,用柯西收敛准则也未必能很快得到证明.
二、对于正项级数,一个基本但不常用的方法是部分和有界,这同样是级数收敛的充分必要条件,这是正项级数中最强的判别法之一,局限性也是显然的：通常来说一个级数的和函数并不好求,用这种方法行不通,因此这个方法通常只有理论上的意义.
三、对于正项级数,比较判别法是一个相当有效的判别法,通过找一个新正项级数,比较通项,如果原级数的通项小,新级数收敛,则原级数收敛；如果新级数发散,原级数通项大,则原级数发散,通常在判别过程中使用其极限形式.局限性：当级数过于复杂时,要找的那个新级数究竟是什么很难判断,通常的方法是对原级数的通项做泰勒展开,以找到与之等价的p级数.
四、对于正项级数,有柯西判别法和达朗贝尔法.这些楼上都已说到,它的实质是找等比级数与之比较.另外柯西判别法比达朗贝尔判别法强,这是因为比值的下极限小于等于开n次根号的下极限,比值的上极限大于等于开n次根号的上极限（即二楼说的这两个判别法等同是不对的）.局限性：如果原级数的阶低于任何一个等比级数,这方法就完全失效了.
五、对于正项级数,有积分判别法：如果x>=1且f（x）〉=0且递减,则无穷级数（通项为f（n））与1到正无穷对f（x）作的积分同敛散.这个办法对于某些级数特别有效.局限性：由于其本质是将级数化成了反常积分,如果化成的反常积分的收敛性难以判断,则有可能该方法就把问题复杂化了.
六、对于正项级数,还有拉贝判别法与高斯判别法.拉贝判别法是将级数与通项为1/（n^alpha）的级数做比较,如果当n充分大时,n（a[n]/a[n+1]-1）〉=r>1,那么级数收敛.高斯判别法将级数与通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数做比较,如果a[n]/a[n+1]=1+1/n+beta/nlnn+o（1/nlnn）,其中beta〉1,则级数收敛.局限性：这两个判别法已经很强了,大部分级数都可以用这两个判别法去估计,但是仍然不是全部级数都有效的,如果级数比通项为1/（n（lnn）^alpha）的级数收敛得还慢,就无效了,这时应该去想比较判别法或者其他办法,可能需要比较强的技巧.
七、对于交错级数,有莱布尼兹判别法：如果级数符号交替且通项绝对值递减,则级数收敛.局限性：如果级数不满足上述条件,显然就失效了.
八、一般项级数的阿贝尔判别法和狄利克雷判别法：
阿贝尔判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积,其中一部分随下标单调有界,以另一部分为通项的级数收敛,那么原级数收敛.
狄利克雷判别法：如果级数的通项可以拆成两部分的乘积,其中一部分随下标单调趋于零,以另一部分为通项的级数的部分和有界,那么原级数收敛.
这两个判别法对于一些通项为两项以上乘积形式的级数非常有效.局限性：如果拆不出来,那就没办法了.不过通常的题最多就考到这里,基本上应该可以判别.
九、绝对收敛性.如果一个级数,以其通项的绝对值为通项的级数收敛,则原级数收敛.局限性是显然的：如果以其通项的绝对值为通项的级数不收敛就无效了.通常的题目上很少会蠢到让你去求绝对值,然后判断正项级数的收敛性,从而这个办法一般只有理论上的意义,除非题中明说让你去判断条件收敛性和绝对收敛性.
十、一些技巧.例如裂项求和,再利用数列中的一些性质等等.这类方法通常用于抽象级数,即并不把级数告诉你,只告诉你一些级数的特征,然后叫你去判断.局限性是显而易见的：你想得到这样的技巧么?
好了,写了这么多手都酸了,希望对你有用.