谁帮忙证明一个中学三角不等式怎么证明三角形ABC的三个角的余弦和不大于3/2,就是cosA+cosB+cosC=第一个回答太复杂了吧，设了三个辅助变量和这么多公式变形……有没有简单一点的？那个用凸

谁帮忙证明一个中学三角不等式怎么证明三角形ABC的三个角的余弦和不大于3/2,就是cosA+cosB+cosC=第一个回答太复杂了吧，设了三个辅助变量和这么多公式变形……有没有简单一点的？那个用凸
谁帮忙证明一个中学三角不等式
怎么证明三角形ABC的三个角的余弦和不大于3/2,就是
cosA+cosB+cosC=
第一个回答太复杂了吧，设了三个辅助变量和这么多公式变形……有没有简单一点的？
那个用凸函数的方法是不是在cos[(A+B+C)/3]前面少了个3啊？这个凸函数不等式证明怎么证啊？y=cosx只在[0,π/2]上是凸函数吧？

谁帮忙证明一个中学三角不等式怎么证明三角形ABC的三个角的余弦和不大于3/2,就是cosA+cosB+cosC=第一个回答太复杂了吧，设了三个辅助变量和这么多公式变形……有没有简单一点的？那个用凸
cosA+cosB+cosC
=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)+cosC (∵(A+B)/2

利用凸函数的性质
cosA+cosB+cosC<=cos((A+B+C)/3)=cos(π/3)=3/2

利用凸函数的性质是最简单的方法
cosA+cosB+cosC<=3cos((A+B+C)/3)=3cos(π/3)=3/2
cosx在[0,π]上都是凸函数
这个证明如下：
1，cosx的导函数是-sinx
在[0,π]上sinx >=0 所以-sinx <= 0
所以cosx是凸函数。
2，没学过导数的话，用初等数学也可以证明，请参考下...

全部展开

利用凸函数的性质是最简单的方法
cosA+cosB+cosC<=3cos((A+B+C)/3)=3cos(π/3)=3/2
cosx在[0,π]上都是凸函数
这个证明如下：
1，cosx的导函数是-sinx
在[0,π]上sinx >=0 所以-sinx <= 0
所以cosx是凸函数。
2，没学过导数的话，用初等数学也可以证明，请参考下面的网址
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_04_3_07/

收起

设P=cosA+cosB+cosC。假定a≥b≥c
则2abcP=a(b^2+c^2)-a^3+b(a^2+c^2)-b^3+c(a^2+b^2)-c^3
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-a^3-b^3-c^3,(∵a^3+b^3+c^3≥3abc)
≤a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-2a^3-2b^3-2c^3+3abc

全部展开

设P=cosA+cosB+cosC。假定a≥b≥c
则2abcP=a(b^2+c^2)-a^3+b(a^2+c^2)-b^3+c(a^2+b^2)-c^3
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-a^3-b^3-c^3,(∵a^3+b^3+c^3≥3abc)
≤a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)-2a^3-2b^3-2c^3+3abc
=a^2(b+c-2a)+b^2(a+c-2b)+c^2(a+b-2c)+3abc
≤a^2(b+c-2a)+b^2(2a-c-b)+3abc,[∵b≥c,b^2(a+b-2c)＞c^2(a+b-2c)]
≤a^2(b+c-2a)+a^2(2a-c-b)+3abc=3abc
∴2abcP≤3abc
∴P≤3/2
即cosA+cosB+cosC≤3/2

收起

(1)和差化积得，cosa+cosb+cosc=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]+cosc=2sin(c/2)cos[(a-b)/2]+1-2[sin(c/2)]^2=2sin(c/2)*[cos(cos(a-b)/2-sin(c/2)]+1=4sina/2sinb/2sinc/2+1.===>cosa+cosb+cosc=4sina/2sinb/2sinc/2+1.(2)用反证...

全部展开

(1)和差化积得，cosa+cosb+cosc=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]+cosc=2sin(c/2)cos[(a-b)/2]+1-2[sin(c/2)]^2=2sin(c/2)*[cos(cos(a-b)/2-sin(c/2)]+1=4sina/2sinb/2sinc/2+1.===>cosa+cosb+cosc=4sina/2sinb/2sinc/2+1.(2)用反证法，若cosa+cosb+cosc>3/2.===>4sina/2sinb/2sinc/2+1>3/2.===>sina/2sinb/2sinc/2>1/8.则当a=b=c=60时，仍成立，===>1/8>1/8.矛盾。===>4sina/2sinb/2sinc/2+1≤3/2.===>cosa+cosb+cosc≤3/2.

收起