一道高一数学练习题（属于平面向量范围内）：如图,点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点,求证 ：AE 、BF 、CD相交于同一点 G ,且 GA／AE ＝ GB ／BF ＝ GC ／CD ＝ 2 ／3(点 G 叫做△ABC

一道高一数学练习题（属于平面向量范围内）：如图,点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点,求证 ：AE 、BF 、CD相交于同一点 G ,且 GA／AE ＝ GB ／BF ＝ GC ／CD ＝ 2 ／3(点 G 叫做△ABC
一道高一数学练习题（属于平面向量范围内）：
如图,点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点,
求证 ：AE 、BF 、CD相交于同一点 G ,且 GA／AE ＝ GB ／BF ＝ GC ／CD ＝ 2 ／3
(点 G 叫做△ABC的重心）.

一道高一数学练习题（属于平面向量范围内）：如图,点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点,求证 ：AE 、BF 、CD相交于同一点 G ,且 GA／AE ＝ GB ／BF ＝ GC ／CD ＝ 2 ／3(点 G 叫做△ABC
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则：E((x2＋x3)/2,(y2＋y3)/2)
则：G((x1＋x2＋x3)/3,(y1＋y2＋y3)/3)
则：向量AG=((x1＋x2＋x3)/3,(y1＋y2＋y3)/3)－(x1,y1)
=((x2＋x3－2x1)/3,(y2＋y3－2y1)/3)
向量GE=((x2＋x3)/2,(y2＋y3)/2)－((x1＋x2＋x3)/3,(y1＋y2＋y3)/3)
=((x2＋x2－2x1)/6,(y2＋y3－2y1)/6)
=(1/2)((x2＋x3－2x1)/3,(y2＋y3－2y1)/3)
=(1/2)AG ====>>>>> 向量AG=(2/3)向量AE ===>> |AG|：|AE|=2：3
其余几个同理可证.

既然是向量问题，你可以设出坐标A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),然后写出D,E,F坐标，求出直线CD与直线BF的交点G的坐标，向量AG平行于向量AE就行了

设CD、BF相交于G，连接并延长AG到P，使GP=AG，交BC于D；
连接PB、PC，
则DG为三角形ABP的中位线、GF为三角形APC的中位线，
所以 PB平行于DC、PC平行于BF，
于是知四边形BPCG为平行四边形，故BC与GP互相平分，即D为BC的中点，AD为BC的中线，
所以三角形三边的中线交于一点G.
又 DG=PB/2=CG/2，故 C...

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设CD、BF相交于G，连接并延长AG到P，使GP=AG，交BC于D；
连接PB、PC，
则DG为三角形ABP的中位线、GF为三角形APC的中位线，
所以 PB平行于DC、PC平行于BF，
于是知四边形BPCG为平行四边形，故BC与GP互相平分，即D为BC的中点，AD为BC的中线，
所以三角形三边的中线交于一点G.
又 DG=PB/2=CG/2，故 CG=2DG，
所以 CG/CD=CG/(/CG+DG)=2DG/(2DG+DG)=2/3，
同理 GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3.

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点 D 、E 、F 分别是 △ABC 的边 AB 、BC 、CA 的中点.......

平面几何做法
证明：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在...

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平面几何做法
证明：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理，BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G，则AE、BF、CD交于一点G。
向量做法
证明：在平面上任取一点O,
设向量OA=a,向量OB=b，向量OC=c
则向量OE=1/2（b+c),向量OD=1/2(a+b),向量OF=1/2(c+a).
再设G为AE上的三等分点，满足向量AG=2向量GE，
则向量OG=1/3向量OA+2/3OE=1/2a+2/3 * 1/2(a+b)=1/3(a+b+c)
同理可证，G也是BF，CD的三等分点，
因此三条中线交于点G。
且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3

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如图：AE、BF、CD分别为BC、AC、AB边中点 设 AE、BF交于O1， BF、CD交于O2， AE、CD交于O3 连接DE ∵DE是三角形BAC的中位线 ∴DE∥AC DE/AC=1/2 ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △EDO3∽△ACO3 ∵ D O3...

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如图：AE、BF、CD分别为BC、AC、AB边中点 设 AE、BF交于O1， BF、CD交于O2， AE、CD交于O3 连接DE ∵DE是三角形BAC的中位线 ∴DE∥AC DE/AC=1/2 ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △EDO3∽△ACO3 ∵ D O3/ O3C=ED/AC=1/2 ∴AO3/EA=C O3/CD=2/3 ① 同理可证 AO1/EA =BO1/BF =2/3 ② CO2/CD = BO2/BF =2/3 ③ 由 ① ② AO3/EA= AO1/EA= 2/3 可知 O1、O3为同一点 由 ② ③ BO1/BF=BO2/BF =2/3 可知 O1、O2为同一点 ∴O1、O2、O3为同一点，设这点为G ∴AE,BF,CD相交于同一点G，且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3

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设AE,BF交于G
AE = AB/2+AC/2,
BF=AF-AB=AC/2-AB
设AG = λAE, BG = μBF, 则
CG = AG - AC = λAE-AC = (λ/2)AB - (1-λ/2)AC, ①
CG = BG - BC = μBF - (AC-AB) = (1-μ)AB - (1-μ/2)AC, ②
由①②得：

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设AE,BF交于G
AE = AB/2+AC/2,
BF=AF-AB=AC/2-AB
设AG = λAE, BG = μBF, 则
CG = AG - AC = λAE-AC = (λ/2)AB - (1-λ/2)AC, ①
CG = BG - BC = μBF - (AC-AB) = (1-μ)AB - (1-μ/2)AC, ②
由①②得：
1-μ = λ/2
1-μ/2 = 1-λ/2
所以: μ=λ=2/3, ③
此时：
CG = (1/3)AB - (2/3)AC
又CD = CA/2+CB/2 = -AC/2+(AB-AC)/2 = (1/2)AB - AC,
所以: CG = (2/3)CD, ④
所以CD过点G, 即：AE 、BF 、CD相交于同一点 G
由③④得：GA／AE ＝ GB ／BF ＝ GC ／CD ＝ 2 ／3

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：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)...

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：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理，BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G，则AE、BF、CD交于一点G。
注：由于在这里不好打向量，记得加上向量符号就好了。
希望被采纳为满意答案。

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不如问同学问老师

既然要用向量法，又是证明题，那就有简明的办法。
就以各顶点的符号代表它们所在的位置向量，那么由中点公式得
D=(A+B)/2, E=(B+C)/2, F=(C+A)/2.
设G=(A+B+C)/3，容易验证(A+2E)/3=(B+2F)/3=(C+2D)/3=G
故所设G同时在直线AE、BF和CD上，即AE，BF，CD相交于同一点G。
由定比分点公式知，...

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既然要用向量法，又是证明题，那就有简明的办法。
就以各顶点的符号代表它们所在的位置向量，那么由中点公式得
D=(A+B)/2, E=(B+C)/2, F=(C+A)/2.
设G=(A+B+C)/3，容易验证(A+2E)/3=(B+2F)/3=(C+2D)/3=G
故所设G同时在直线AE、BF和CD上，即AE，BF，CD相交于同一点G。
由定比分点公式知，G同时是线段AE，BF，CD的三等分点，GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3。

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等分点问题 建议上网查查看 不要死在一条题目上 这样会读死书 你能会等分点问题 这类题目都会了

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则：E((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)
则：G((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
则：向量AG=((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)－(x1，y1)
=((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
向量GE=...

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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则：E((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)
则：G((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
则：向量AG=((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)－(x1，y1)
=((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
向量GE=((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)－((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
=((x2＋x2－2x1)/6，(y2＋y3－2y1)/6)
=(1/2)((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
=(1/2)AG ====>>>>> 向量AG=(2/3)向量AE ===>> |AG|：|AE|=2：3
其余几个同理可证。

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如图：AE、BF、CD分别为BC、AC、AB边中点 设 AE、BF交于O1， BF、CD交于O2， AE、CD交于O3 连接DE ∵DE是三角形BAC的中位线 ∴DE∥AC DE/AC=1/2 ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △EDO3∽△ACO3 ∵ D O3...

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如图：AE、BF、CD分别为BC、AC、AB边中点 设 AE、BF交于O1， BF、CD交于O2， AE、CD交于O3 连接DE ∵DE是三角形BAC的中位线 ∴DE∥AC DE/AC=1/2 ∵ ∠1=∠2，∠3=∠4 ∴ △EDO3∽△ACO3 ∵ D O3/ O3C=ED/AC=1/2 ∴AO3/EA=C O3/CD=2/3 ① 同理可证 AO1/EA =BO1/BF =2/3 ② CO2/CD = BO2/BF =2/3 ③ 由 ① ② AO3/EA= AO1/EA= 2/3 可知 O1、O3为同一点 由 ② ③ BO1/BF=BO2/BF =2/3 可知 O1、O2为同一点 ∴O1、O2、O3为同一点，设这点为G ∴AE,BF,CD相交于同一点G，且GA/AE=GB/BF=GC/CD=2/3 希望对你有所帮助

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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
E((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)
G((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
向量AG=((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)－(x1，y1)
=((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
向量GE=((x...

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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
E((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)
G((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
向量AG=((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)－(x1，y1)
=((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
向量GE=((x2＋x3)/2，(y2＋y3)/2)－((x1＋x2＋x3)/3，(y1＋y2＋y3)/3)
=((x2＋x2－2x1)/6，(y2＋y3－2y1)/6)
=(1/2)((x2＋x3－2x1)/3，(y2＋y3－2y1)/3)
=(1/2)AG
向量AG=(2/3)向量AE

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证明：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/...

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证明：设BF、CD交于点K。取BK中点M，CK中点N。连MN、DF、DM、FN。
∴MN‖BC且MN＝(1/2)BC
同理DF‖BC且DF＝(1/2)BC
∴DF‖MN且DF＝MN
∴四边形DFNM是平行四边形
∴FK＝MK
又∵BK＝2MK
∴BK＝2FK
∴FK＝(1/3)BF
即BF与CD的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
同理，BF与AE的交点在线段BF上距点F (1/3)BF处
AE、BF、CD交于一点。
令该点为G，则AE、BF、CD交于一点G。

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这里有答案：：mobile（“点”）teenist（“点”）com：：