说明连续四个自然数之积加1是完全平方数,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 23:56:07
说明连续四个自然数之积加1是完全平方数,
说明连续四个自然数之积加1是完全平方数,
说明连续四个自然数之积加1是完全平方数,
设连续四个自然数为n,(n+1),(n+2),(n+3)
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2
∴连续四个自然数之积加1是完全平方数
设连续四个自然数为(n-1),n,(n+1),(n+2),则
(n-1)*n*(n+1)*(n+2)+1
=[n(n+1)]*[(n-1)(n+2)]+1
=(n^2+n)(n^2+n-2)+1
=(n^2+n)^2-2(n^2+n)+1
=(n^2+n-1)^2
∴连续四个自然数之积加1是完全平方数
证毕
当然你还可以设四个连续自然数为(n-2),(n-1),n,(n+1),道理都是一样的
为了回答你的问题,从一楼掉到了地下室.
设4个连续自然数中最小的自然数是n，则其他三个自然数为n+1, n+2, n+3
因为
n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
= (n^2 + n)(n^2 + 5n + 6) + 1
= n^4 + 6n^3 + 11n^2 + 6n + 1
= (n^2 + 3n + 1)^2
所以连续四个自然数之积加1是完全平方数。
希望有用。
楼主令最小的自然数为x，连续四个自然数为
x（x+1）（x+2）（x+3）
证明就是证明这四个数相乘，然后开方。开方得到得数是x²+3x+1，当x为自然数的时候也此方程也一定为自然数。
这就得到了证明。
设四个连续自然数为：n,n+1,n+2,n+3, 这四个数之积加1是：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=
n(n+3)(n+1)(n+2)+1=（n²+3n)(n²+3n+2)+1=（n²+3n)²+2（n²+3n)+1=（n²+3n+1）²
所以是完全平方数如果这四个连续数为n-1,n,n+1,n+2,...
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设四个连续自然数为：n,n+1,n+2,n+3, 这四个数之积加1是：n(n+1)(n+2)(n+3)+1=
n(n+3)(n+1)(n+2)+1=（n²+3n)(n²+3n+2)+1=（n²+3n)²+2（n²+3n)+1=（n²+3n+1）²
所以是完全平方数
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