f(x)在[1,+∞)内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 00:15:46
f(x)在[1,+∞)内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),f(x

f(x)在[1,+∞)内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),
f(x)在[1,+∞)内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)
答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),

f(x)在[1,+∞)内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),
原方程可化为:
x-1 = x*( [1,x]∫t*f(t)dt) + [1,x]∫t*f(t)dt - x*( [1,x]∫f(t)dt )
=x*( [1,x]∫(t-1)*f(t)dt ) + [1,x]∫t*f(t)dt --- (1)
设 F1(t) = ∫(t-1)*f(t)dt ,F2(t) = ∫t*f(t)dt,则:
F1'(t) = (t-1)*f(t);F2‘(t) = t*f(t);
[1,x]∫(t-1)*f(t)dt = F1(x) - F1(1);
[1,x]∫t*f(t)dt = F2(x) - F2(1);
方程(1) 可写为:
x-1 = x*[F1(x) - F1(1)] + F2(x)
方程两边对x求导得:
1 = [F1(x) - F1(1)] + x*(x-1)f(x) + x*f(x)
= [F1(x) - F1(1)] + x²f(x)
方程两边继续对x求导得:
0 = (x-1)f(x) + 2x*f(x) + x²f'(x)
==> f'(x)/f(x) = (1-3x)/ x²
==> [ln f(x)]' = 1/x² - 3/x
两边积分得:
ln[f(x)] = -1/x - 3lnx + lnc
==> f(x) = e^(-1/x - 3lnx + lnc)
= c* e^(-1/x) /x³
由原积分式可知,当x=0 时,有
[1,0]∫t*f(t)dt = -1
==> [0,1]∫t*c* e^(-1/t) /t³dt = 1
==> c* [0,1]∫e^(-1/t)d(-1/t) = 1
==> c* e^(-1/t)|[0,1] =1 ==> c = e
因此:
f(x) = e* e^(-1/x) /x³
= e^(1-1/x) /x³

这要求微分方程噢,最后那个常数C是任意常数,不知道你那答案怎会是1的,要给其他条件才能找到。顺便一题,这个∫(1→x) f(t) dt是变上限积分,仍然是个函数,不能设其为常数

你令∫(上限x,下限1)f(t)dt=常数A,x-1=∫(上限x,下限1)1dt,带入,对右半边分部积分,就能解出!过程不好打,你自己写吧·

导数微分已知函数f(x)在[a,b]内有一阶连续导数,而且在(a,b)内具有二阶导数,请问f(x)的二阶导数是否一定连续呢? 若f(x)在(-∞,+∞)内有一阶连续导数且f(0)=0,则当A=?时,g(x)=f(x)/x,x≠0;A,x=0在(-∞,+∞)内连续 f(x)在[1,+∞)内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x), 若在点(x,y)的某一邻域内f(x,y)的偏导数存在且有界,证明f(x,y)在该点连续 设f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数,且lim(x->0)f(x)/x=0,证明:级数∑(n=1,∞)f(1/n)绝对收敛 如果函数f(x,y)在某个开区域R内有定义,且对x的偏导数和对y的偏导数在R内有界,证明函数在R内连续 有关高数的证明题设函数 f(x)在[0,∞)上有二阶连续导数,且对任意x>=0有 f(x)的二阶导数>=k,其中k>0为一常数,f(0) 设f(x)在[0,1]上有连续的一阶导数,且|f'(x)|≤M,f(0)=f(1)=0,证明: 已知函数f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(1)=0,证明在(0,1)内至少存在一点ξ∈(0,1),使f(ξ)的导数=-kf(ξ)/ξ 设f(x)在[0,1]上有连续导数,且f(x)=f(0)=0.证明 设f(x)在负无穷到正无穷有连续的二阶导数,且f(0)=0,设g(x)=f(x)/x,x不等于0;g(x)=a,x=0确定a的值,使g(x)在负无穷到正无穷内是连续的 设f(x)在(-1,1)内具有二阶连续导数,且f''(x)不等于0,证明:(1)若给定(-1,1)内的x不等于0,存在唯一的a属于(0,1),使得f(x)=f(0)+xf'(ax);(2)对于(-1,1)内任意的x不等于0,当x趋向于0,有lima=0.5 高数下,若对于平面上任意简单闭曲线L,恒有∮yf(x)dx+[f(x)-x∧2]dy=0,f(0)=2,求f(x)若对于平面上任意简单闭曲线L,恒有∮yf(x)dx+[f(x)-x∧2]dy=0,其中f(x)在(-∞,∞)内有连续的一阶导数,且f(0)=2,求f(x) 隐函数存在定理1的一些疑惑设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续偏导数,且F(x0,y0)=0;Fy(x0,y0)≠0,则方程F(x,y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内有恒定能唯一确定一个连续且具 f(x)在点C处有连续导数 导数与微分的设f(x)在x=0的某邻域内有连续的四阶导数,当x不等于0时,f(x)不等於0,又F(X)={(tanx-sinx)除(f(x)-0).x不等于0.1.x=0在x=0处连续,则f'''(0)=?tanx-sinx=tan(1-cosx)~1/2x^3,f(x)=1/2x^3,f'''(x)=3 中值定理 f(x)在R内有一阶连续的导数,f'(1/2)=0,证明.存在a属于(0,1/2)使f'(...中值定理 f(x)在R内有一阶连续的导数,f'(1/2)=0,证明.存在a属于(0,1/2)使f'(a)=2a[f(a)-f(0)] 设f(x)有连续二阶导数,且f(x)/x在x=0处的极限是0,f''(0)【f(x)在0处的二阶导数值】=4,转下面求(1+f(x)/x)^(1/x)在x=0处的极限?