P,Q,R分别在三角形ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求三角形ABC面积的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/26 23:40:04
P,Q,R分别在三角形ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求三角形ABC面积的最大值
P,Q,R分别在三角形ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求三角形ABC面积的最大值
P,Q,R分别在三角形ABC的边AB,BC,CA上,且BP=PQ=QR=RC=1,求三角形ABC面积的最大值
连接PR,
设∠BPQ = θ1,∠QPC = θ2,∠PQR = θ3
∠PQB = ∠PBQ = (180-θ1)/2
∠RQC = ∠RCQ = (180-θ2)/2
所以∠PQB = θ3 = 180 - (180-θ1)/2 - (180-θ2)/2 = (θ1+θ2)/2
∠PQB = ∠BAC
所以
△BPQ = (sinθ1)/2
△QRC = (sinθ2)/2
△PQR = (sinθ3)/2 = [sin((θ1+θ2)/2)]/2
△APR = (sinθ3)*AP*AR/2
因为△ABC = △APR + △BPQ + △QRC + △PQR
所以若要△ABC面积取得最大值,则需要△APR面积取得最大值.因此需要AP*AR*(sinθ3)取得最大值.因此AP=AR
∠APR = ∠ARP = ∠QPR = ∠QRP
所以△APR相似于△QPR
因为PR边公用,所以AP=AR=QP=QR=1
AB=AC=2
因为∠APR = ∠ARP = (180-θ1)/2
∠QPR = ∠QRP = (180-θ2)/2
所以 θ1 = θ2
所以Max△ABC =2*2*(sinθ3)/2 = 2*(sinθ1)/2
= 2sinθ1
=2sin ∠BAC
∠BAC=90度的时候,sin ∠BAC取到最大值1
所以三角形ABC是等腰直角三角形的时候,面积达到最大值2
因为△ABC = △APR + △BPQ + △QRC + △PQR
所以若要△ABC面积取得最大值,则需要△APR面积取得最大值。因此需要AP*AR*(sinθ3)取得最大值。因此AP=AR
请解释清楚