f(x)在x=0处连续,且x→0时,lim (f(2x)-f(x))/x = A(常数).求证 f(x)在x=0处可导,且f'(0)=A先说明一下背景，免得后面来答的犯一楼和二楼相同的错误。首先，仅有lim (f(2x)-f(x))/x = 是推不出f可导的。即推

f(x)在x=0处连续,且x→0时,lim (f(2x)-f(x))/x = A(常数).求证 f(x)在x=0处可导,且f'(0)=A先说明一下背景，免得后面来答的犯一楼和二楼相同的错误。首先，仅有lim (f(2x)-f(x))/x = 是推不出f可导的。即推
f(x)在x=0处连续,且x→0时,lim (f(2x)-f(x))/x = A(常数).求证 f(x)在x=0处可导,且f'(0)=A
先说明一下背景，免得后面来答的犯一楼和二楼相同的错误。
首先，仅有lim (f(2x)-f(x))/x = 是推不出f可导的。
即推不出 lim (f(x)-f(0))/x 存在的。
反例如下，
f(x)定义如下
f(x)=0，若 x=0
f(x)=1,若x≠0
f(x)在0点不连续，所以不可导。
但 lim f(2x)-f(x) /x = lim (1-1)/x =0
所以，连续性怎么用是这个问题的关键

f(x)在x=0处连续,且x→0时,lim (f(2x)-f(x))/x = A(常数).求证 f(x)在x=0处可导,且f'(0)=A先说明一下背景，免得后面来答的犯一楼和二楼相同的错误。首先，仅有lim (f(2x)-f(x))/x = 是推不出f可导的。即推
先声明一下,这道题我也没做出来,得到了楼主的大量帮助,顺便鄙视一下1楼的,还强词夺理,甚至进行人身攻击,当真是极品了,如果你真是一个老师的话,那只能说,中国的教育快要完蛋了.
证明：
lim (f(2x)-f(x))/x = A
根据极限的定义有,对任意e>0 ,存在d>0,使得对于任意0

设t = lim [f(x) - f(0)]/x
那么lim[ f(2x) - f(0)]/2x = t
于是
lim (f(2x)-f(x))/x = 2t - t = t = A
故lim [f(x) - f(0)]/x极限存在则导数存在，且等于A错误， t = lim [f(x) - f(0)]/x 这个极限式子有意义，需要用到f可导的条件，但，这个题目没...

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设t = lim [f(x) - f(0)]/x
那么lim[ f(2x) - f(0)]/2x = t
于是
lim (f(2x)-f(x))/x = 2t - t = t = A
故lim [f(x) - f(0)]/x极限存在则导数存在，且等于A

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看了看几位的讨论，出来为楼主说句话，两位答题的朋友都忽略了一个重要的问题：limu和limv存在是可以推出lim(u+v)或者lim(u-v)存在，但是反过来是不对的，由lim(u-v)存在得不到limu和limv同时存在的结论。最常见的就是“无穷减无穷”的不定型了，不定型可以存在极限，但是分开每一部分都是无穷，没有极限。本题就是源自这里。两个同时为无穷或者发散的表达式是不能进行普通的加减法代数运...

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看了看几位的讨论，出来为楼主说句话，两位答题的朋友都忽略了一个重要的问题：limu和limv存在是可以推出lim(u+v)或者lim(u-v)存在，但是反过来是不对的，由lim(u-v)存在得不到limu和limv同时存在的结论。最常见的就是“无穷减无穷”的不定型了，不定型可以存在极限，但是分开每一部分都是无穷，没有极限。本题就是源自这里。两个同时为无穷或者发散的表达式是不能进行普通的加减法代数运算的。极限的四则运算只是针对收敛极限才成立，发散的情况根本没有这样的运算法则，这个不是写出个表达式，字母形式上可以减就能减的，没有收敛的前提一切都是不确定的。
我没有经历过考研，也不是学基础数学的，这方面的处理方法和技巧都比较生疏了，暂时没有想到完整的证明方法，但是可以肯定楼主的判断是正确的。而且证明的关键除了那个极限是A之外，还有f(x)在x=0处连续也是不可缺少的条件。否则就会出现我说的无穷减无穷的不定型问题。

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证明：
当x→0时，2x→0，
所以：
lim (f(2x)-f(x))/x =
lim {[f(2x)-f(0)] - [f(x)-f(0)]}/x-0
∵x = 0处f(x)连续，根据导数定义对原式化简：
原式=2lim(2x→0)[f(2x)-f(0)]/2(x-0) - lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x
= 2f'(0...

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证明：
当x→0时，2x→0，
所以：
lim (f(2x)-f(x))/x =
lim {[f(2x)-f(0)] - [f(x)-f(0)]}/x-0
∵x = 0处f(x)连续，根据导数定义对原式化简：
原式=2lim(2x→0)[f(2x)-f(0)]/2(x-0) - lim(x→0)[f(x)-f(0)]/x
= 2f'(0) - f'(0) = A
f'(0) = A

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