抛物线Y^2=4x的焦点弦的中点轨迹方程为______.

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/25 22:28:07

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抛物线Y^2=4x的焦点弦的中点轨迹方程为______.
抛物线Y^2=4x的焦点弦的中点轨迹方程为______.

抛物线Y^2=4x的焦点弦的中点轨迹方程为______.
设焦点弦为A(x1,y1)B(x2,y2)
由题知抛物线的焦点坐标为F（1,0）
若焦点弦有斜率,所以设焦点弦所在直线的方程为：
y=k(x-1)代入抛物线方程消去y得到：
k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0
由韦达定理得到：x1+x2=(2k^2+4)/k^2
同理消去x得到：
y^2-(4/k)y-4=0
由韦达定理得到：y1+y2=4/k
设弦中点为M（X,Y）
那么,根据中点坐标公式得到：
X=(x1+x2)/2=(k^2+2)/k^2
Y=(y1+y2)/2=2/k
k=2/Y
消去k得到：y^2=2(x-1)
若AB无斜率,则AB垂直于X轴,已知AB横坐标为1
那么,根据此抛物线的关于X轴对称性可得,AB中点M（1,0）
把M的坐标代入y^2=2(x-1)
发现也满足,所以,M的轨迹方程为y^2=2(x-1)
回答完毕,

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