在三角形ABC中,已知（cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状.解法是什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 23:03:49
在三角形ABC中,已知（cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状.解法是什么?
在三角形ABC中,已知（cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状.解法是什么?
在三角形ABC中,已知（cosA+2cosC)/(cosA+2cosB)=sinB/sinC,试判断三角形ABC的形状.解法是什么?
”sinA＋sinB＝cosA＋cosB”是”C＝90度”的充要条件.
(1).若sinA＋sinB＝cosA＋cosB
sinA+sinB
=sin[(A+B)/2+(A-B)/2]+sin[(A+B)/2-(A-B)/2]
={sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
+{sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
=2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
cosA+cosB
=cos[(A+B)/2+(A-B)/2]+cos[(A+B)/2-(A-B)/2]
={cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]-sin[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
+{cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]+cos[(A+B)/2]*sin[(A-B)/2]}
=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
∴2sin[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]=2cos[(A+B)/2]*cos[(A-B)/2]
cos[(A-B)/2]*{[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]}=0
∴cos[(A-B)/2]=0或者[2sin[(A+B)/2]-cos[(A+B)/2]=0
即cos[(A-B)/2]=0或者tan[(A+B)/2]=1
所以(A-B)/2=∏/2+K∏,(K∈Z)或者(A+B)/2=∏/4+K∏,(K∈Z)
即A-B=∏+2K∏,(K∈Z)或者A+B=∏/2+2K∏,(K∈Z)
又A,B,C是三角形的内角,
所以A+B=∏/2
所以
C＝90度.
(2).若C＝90度,则A+B=90度.
sinA＋sinB
=sinA+sin(90-A)
=sinA+cosA
cosA＋cosB
=cosA+cos(90-A)
=cosA+sinA
∴sinA＋sinB＝cosA＋cosB
综上所述,三角形ABC中,”sinA＋sinB＝cosA＋cosB”是”C＝90度”的充要条件
.