求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 23:19:46
求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围求不等式在x+9/x-2m&

求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围
求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围

求不等式在x+9/x-2m²+m<0在[1,5]上恒成立时的实数m的取值范围
f(x)=x+9/x-2m²+m
f'(x)=1-9/x^2
在[1,5]区间,x∈[1,3)时f'(x)<0,单调减;x∈(3,5]时,f'(x)>0,单调增.
欲使在[1,5]上x+9/x-2m²+m<0,只要f(1)<0,f(5)<0即可:
f(1)=1+9/1-2m^2+m=10-2m^2+m
f(5)=1+9/5-2m^2+m=2.8-2m^2+m
f(5)<f(1),所以只需f(1)<0即可:
10-2m^2+m<0
2m^2-m-10>0
(m+2)(2m-5)>0
m<-2或m>2.5

在解答恒成立问题时,第一个最容易想到的是参数与未知数的分离;
本题就是m与x的分离
∴分离后:x+9/x<2m²-m恒成立;
只需要知道x+9/x在[1,5]上的取值范围,就可以求出2m²-m的取值范围了。
∵f(x)=x+9/x在[1,3]上减函数;在[3,5]上增函数(关于增减性可以用定义f(x1)-f(x2)来证明,或者判断导数f片x的正负...

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在解答恒成立问题时,第一个最容易想到的是参数与未知数的分离;
本题就是m与x的分离
∴分离后:x+9/x<2m²-m恒成立;
只需要知道x+9/x在[1,5]上的取值范围,就可以求出2m²-m的取值范围了。
∵f(x)=x+9/x在[1,3]上减函数;在[3,5]上增函数(关于增减性可以用定义f(x1)-f(x2)来证明,或者判断导数f片x的正负)
∴x+9/x的取值范围是:[6,10]
∴x+9/x<2m²-m恒成立;需要2m²-m>10
2m²-m-10>0
m>5/2或m<-2

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