线性代数一个方阵问题设方阵A满足A^2+A=E,求 A^-1和（A+2E）^-1
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/03 05:48:50
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线性代数一个方阵问题设方阵A满足A^2+A=E,求 A^-1和（A+2E）^-1
线性代数一个方阵问题
设方阵A满足A^2+A=E,求 A^-1和（A+2E）^-1
线性代数一个方阵问题设方阵A满足A^2+A=E,求 A^-1和（A+2E）^-1
A^-1=A+E,(A+2E)^-1=E-A.
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利用矩阵多项式总结一个类似题目的做法：
引入多项式f(x)=x^2+x-1,g(x)=x,h(x)=x+2,则A^2+A=E即为f(A)=0.g(A)=A,h(A)=A+2E.
用g(x)去除以f(x),商是x+1,余是-1,所以f(x)=g(x)(x+1)-1,所以0=f(A)=g(A)(A+E)-E,所以A(A+E)=A,A^-1=A+E.
用h(x)去除以f(x),商是x-1,余是1,所以f(x)=h(x)(x-1)+1,所以0=f(A)=h(A)(A-E)+E,所以(A+2E)(A-E)=E,(A+2E)(E-A)=E,所以(A+2E)^-1=E-A.
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