1+1+1/2!+1/3!+.+1/n!

1+1+1/2!+1/3!+.+1/n!
1+1+1/2!+1/3!+.+1/n!

1+1+1/2!+1/3!+.+1/n!
你高几,高3的话,有一种很简单
设An＝1+1/2!+1/3!+.+1/n!
Bn＝1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
假设An＜Bn成立,
那么An+1＝An+1/(n+1)!
Bn+1=Bn +1/2^(n+1)
又(n+1)!>2^(n+1)>0 [(n+1)!=2*3*4*5...*(n+1)>2*2*2*2...(n+1)个2]
所以1/(n+1)!<1/2^(n+1)
既An+1所以An＜Bn成立,既1+1+1/2!+1/3!+.+1/n!<=1+1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n) 成立

当n>2时，n!> 2^n
n=2时，1+1+1/2 = 1+1+1/2^1 < 1+1+1/2^1+1/2^2
n=1时，1+1 = 1+1<1+1 +1/2^1
n=0时，1 < 1 + 1/2^0
原题目右侧多了一个1，取不到等号。
右侧减掉1个1后，可以取到等号

题有些小问题右边最后应该是+...+[1/2^（n-1）)]
n=2时左右相等...
n!=n*(n-1)*....*1
易知当n>2时，n!>2^(n-1)
因此，1/n!<1/2^(n-1)
故1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!<=1+1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3 )+...+[1/2^（n-1）)]

因为 (n+1)!>=2^n （n为自然数) 且只有n=1时取等号
那么1/(n+1)!<=1/2^n 分子相同，分母越大值越小
所以1/2!+1/3!+....+1/n!+1/(n+1)!<=1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
不等式左边再减去1/(n+1)!就是要求证的不等式
左边本来就小，在减去一个正数，值就更小了，所以得证...

全部展开

因为 (n+1)!>=2^n （n为自然数) 且只有n=1时取等号
那么1/(n+1)!<=1/2^n 分子相同，分母越大值越小
所以1/2!+1/3!+....+1/n!+1/(n+1)!<=1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
不等式左边再减去1/(n+1)!就是要求证的不等式
左边本来就小，在减去一个正数，值就更小了，所以得证

收起

n！>=2^n，所以1/n！<=1/2^n，所以累加也<=。
当n=1，2时为等式

原题目右侧多了一个1，取不到等号。
右侧减掉1个1后，可以取到等号
因为 (n+1)!>=2^n （n为自然数) 且只有n=1时取等号
那么1/(n+1)!<=1/2^n 分子相同，分母越大值越小
所以1/2!+1/3!+....+1/n!+1/(n+1)!<=1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n) 左右相等

2^n<=n!
成立的条件n>=2,
当n=1时,可带入等式求解

n！>=2^n，所以1/n！<=1/2^n，所以累加也<=。
当n=1，2时为等式
有一种很简单
设An＝1+1/2!+1/3!+....+1/n!
Bn＝1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
假设An＜Bn成立，
那么An+1＝An+1/(n+1)!
Bn+1=Bn +1/2^(n+1)
...

全部展开

n！>=2^n，所以1/n！<=1/2^n，所以累加也<=。
当n=1，2时为等式
有一种很简单
设An＝1+1/2!+1/3!+....+1/n!
Bn＝1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
假设An＜Bn成立，
那么An+1＝An+1/(n+1)!
Bn+1=Bn +1/2^(n+1)
又(n+1)!>2^(n+1)>0 [(n+1)!=2*3*4*5...*(n+1)>2*2*2*2...(n+1)个2]
所以1/(n+1)!<1/2^(n+1)
既An+1所以An＜Bn成立,既1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!<=1+1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n) 成立

收起

"!" 大家都应该知道吧?
设An＝1+1/2!+1/3!+....+1/n!
Bn＝1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
假设An＜Bn成立，
那么An+1＝An+1/(n+1)!
Bn+1=Bn +1/2^(n+1)
又(n+1)!>2^(n+1)>0 [(n+1)!=2*3*4*5...*(n+1)>2...

全部展开

"!" 大家都应该知道吧?
设An＝1+1/2!+1/3!+....+1/n!
Bn＝1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n)
假设An＜Bn成立，
那么An+1＝An+1/(n+1)!
Bn+1=Bn +1/2^(n+1)
又(n+1)!>2^(n+1)>0 [(n+1)!=2*3*4*5...*(n+1)>2*2*2*2...(n+1)个2]
所以1/(n+1)!<1/2^(n+1)
既An+1所以An＜Bn成立,既1+1+1/2!+1/3!+....+1/n!<=1+1+1/2+(1/2^2)+(1/2^3)+...+(1/2^n) 成立

收起