运用算术——几何平均值不等式证明如下命题：

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/24 20:30:46

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运用算术——几何平均值不等式证明如下命题：

运用算术——几何平均值不等式证明如下命题：
用Cauchy不等式应该秒杀吧
左右同时乘sigma (2b+3c)a

题目不完整 a,b,c是什么数？又满足什么关系？说清楚。

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题目应加上条件“a、b、c∈R+”吧？
构造凸函数f(s,t,v)＝s/(2t+3v),则
a/(2b+3c)+b/(2c+3a)+c/(2a+3b)
＝f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)
≥3f[(a+b+c)/3,(b+c+a)/3,(c+a+b)/3]
＝3[(a+b+c)/3]/[2(a+b+c)/3+3(a+b+c)/3]
＝(a+b+c)/[5(a+b+c)/3]
＝3/5.
故原不等式得证。
如果用均值不等式证明，则
设2b+3a＝x,2c+3a＝y,2a+3b＝z,
解方程组得出a、b、c后，代回原不等式整理，
再用均值不等式证明，但运算量太大，楼主动手试试吧。

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