求各位提供算术,几何,调和平均值不等式的证明.写明出处.再加200分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 09:30:45
求各位提供算术,几何,调和平均值不等式的证明.写明出处.再加200分
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再加200分
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吉米多维奇习题集
参考yahoo知识堂：
sqrt表示算数平方根
设两个数分别为x0,x1.
则调和平均=2/(1/x0+1/x1)=2x0x1/(x0+x1)
几何平均=sqrt(x0x1)
算数平均=(x0+x1)/2
平方平均=sqrt[(x0^2+x1^2)/2]
设一个直角三角形的高h,两条直角边在斜边上投影长度分别为x0,x1,由相似得到h=sqr...
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参考yahoo知识堂：
sqrt表示算数平方根
设两个数分别为x0,x1.
则调和平均=2/(1/x0+1/x1)=2x0x1/(x0+x1)
几何平均=sqrt(x0x1)
算数平均=(x0+x1)/2
平方平均=sqrt[(x0^2+x1^2)/2]
设一个直角三角形的高h,两条直角边在斜边上投影长度分别为x0,x1,由相似得到h=sqrt(x0x1),直角三角形外接圆半径=(x0+x1)/2
因为外接圆半径和高只可能是一个直角三角形的斜边和直角边或者二者重合(以斜边中点为圆心做过两两条直角边交点的半径即可证明)
所以sqrt(x0x1)<=(x0+x1)/2 (x0>0,x1>0)
即的可证明两正数算术平均>=两正数几何平均
又因为sqrt(x0x1)<=(x0+x1)/2 (x0>0,x1>0)==>
x0x1/sqrt(x0x1)>=2x0x1/(x0+x1) (x0>0,x1>0) (两端同时被x0x1除)
==>sqrt(x0x1)>=2x0x1/(x0+x1) (x0>0,x1>0)
所以两正数几何平均>=两正数调和平均
又因为sqrt(x0x1)<=(x0+x1)/2 (x0>0,x1>0)==>
(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2>=2sqrt(x0x1)
==>2[(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2]>=(sqrt(x0)+sqrt(x1))^2
(两端同时加(sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2)
==>sqrt(((sqrt(x0))^2+(sqrt(x1))^2)/2)>=(sqrt(x0)+sqrt(x1))/2
所以两正数平方平均>=两正数算术平均
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