等差数列an,d不为0,Sn/S2n是与n无关的常数,此an存在吗?若存在求这个常数、a1与d的关系,不存在说明理由
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 22:27:02
等差数列an,d不为0,Sn/S2n是与n无关的常数,此an存在吗?若存在求这个常数、a1与d的关系,不存在说明理由
等差数列an,d不为0,Sn/S2n是与n无关的常数,此an存在吗?若存在求这个常数、a1与d的关系,不存在说明理由
等差数列an,d不为0,Sn/S2n是与n无关的常数,此an存在吗?若存在求这个常数、a1与d的关系,不存在说明理由
对于等差数列 前n项和 有公式：
Sn=na1+n(n-1)d/2 . ①
S2n=na1+2n(2n-1)d/2 . ②
于是：
Sn/S2n=[na1+n(n-1)d]/[2na1+2n(2n-1)d] . ③
将其展开：
Sn/S2n=[a1+(n-1)d]/[2a1+(4n-2)d].将n约去
=1-(3n-1)d/[2a1+(4n-2)d] . ④
于是只要 后边的分式是一个常数即可
并设这个常数为 k （k≠0,因为如果k=0必然有d=0）此时
Sn/S2n=1-k . ⑤
则：
(3n-1)d=k[2a1+(4n-2)d] . ⑥
移项 整理得：
a1=[(3n-1)/2k-2n+1]d . ⑦
a1与d都是常数 两者之间比例关系必然与 n无关
因此 有
3n/2k-2n=0 （使⑦式中与 n 有关的项为零）
即得：
k=3/4
代入 ⑤⑦式得：
a1=d/3
Sn/S2n=1-k=1/4
[na1+n(n-1)d/2]/[2na1+2n(2n-1)d/2]，分离常数即可做。
1/2-(n^2d)/4(na1+n^2d-nd/2)=1/2-[1/4-(a1-d/2)n/4(na1+n^2d-nd/2)]
所以a1=d/2或d=0（舍去）
所以当d=2a1，an满足条件，故存在an