【数学证明题】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,PD⊥AB于点D,BF是腰AC上的高,求证:PE+PD=BF.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/07/08 10:07:14
【数学证明题】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,PD⊥AB于点D,BF是腰AC上的高,求证:PE+PD=BF.
【数学证明题】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,
如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,PD⊥AB于点D,BF是腰AC上的高,求证:PE+PD=BF.
【数学证明题】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,P是底边上任意一点,PE⊥AC于点E,PD⊥AB于点D,BF是腰AC上的高,求证:PE+PD=BF.
过P作PM⊥BF
易证四边形PEFM是长方形
PE=MF
PM//AC
∴∠C=∠MPB
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∴∠ABC=∠MPB
∠PDB=∠BMP
BP=PB
∴△PDB≌△BMP
∴PD=BM
∴PD+PE=BM+MF
即BF=PD+PE
证明:
∵BF是腰AC上的高,
∴△ABC的面积为1/2BF*AC
连接AP
∵PE垂直于AC于点E,
∴△APC的面积为1/2PE*AC
∵PD垂直于AB于点D,
∴△APB的面积为1/2PD*AB=1/2PD*AC
∵△APC的面积+△APB的面积=△ABC的面积
即1/2PE*AC+1/2PD*AC=1/2BF*AC
∴PE+PD=BF
过P作PQ//AC,交AB于Q、BF于G
则BF垂直于PQ,
又三角形QBP相似于ABC,是等腰三角形,QB=QP
所以S三角形QBP=DP*QB/2=BG*PQ/2,
可知BG=DP
而BF//PE,
四边形PQFE是矩形,
EP=QF
则BF=BQ+QF=PE+PD
证明:
由△ABC是等腰三角形,AB=AC;
又
△ABC的面积=△ABP的面积+△ACP的面积
得
AC×BF/2=AB×DP/2+AC×EP/2
=AC×DP/2+AC×EP/2
从而BF=PE+PD
∴PE+PD=BF