证明cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 谁会证明cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB 谁会
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 18:22:24
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方法一：
令复数z1＝cosA＋isinA、复数z2＝cosB＋isinB,则：
z1z2＝cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosA＋isinA）（cosB＋isinB）,
∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝cosAcosB＋icosAsinB＋isinAcosB＋i^2sinAsinB,
∴cos（A＋B）＋isin（A＋B）＝（cosAcosB－sinAsinB）＋i（sinAcosB＋cosAsinB）,
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB.
方法二：
在单位圆⊙O上作∠AOB＝A,使点A在x轴的正半轴上；再作∠BOC＝B,∠AOD＝－B.
那么,A、B、C、D的坐标依次为：
（1,0）、（cosA,sinA）、（cos（A＋B）,sin（A＋B））、（cos（－B）,sin（－B））.
∵OD＝OA、OB＝OC、∠DOB＝∠AOC＝A＋B,∴△DOB≌△AOC,∴DB＝AC.
由两点间距离公式,有：
DB＝√｛［cosA－cos（－B）］^2＋［sinA－sin（－B）］^2｝
＝√［（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2］,
AC＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［0－sin（A＋B）］^2｝
＝√｛［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2｝,
∴（cosA－cosB）^2＋（sinA＋sinB）^2＝［1－cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2,
∴（cosA）^2－2cosAcosB＋（cosB）^2＋（sinA）^2＋2sinAsinB＋（sinB）^2
＝1－2cos（A＋B）＋［cos（A＋B）］^2＋［sin（A＋B）］^2,
∴1－2cosAcosB＋1＋2sinAsinB＝1－2cos（A＋B）＋1,
∴－2cosAcosB＋2sinAsinB＝－2cos（A＋B）,
∴cos（A＋B）＝cosAcosB－sinAsinB.
把左边展开，化简在用1的关系能得到！你试一试！