在三角形ABC中,B=60度,AC=√3,求AB+2BC的最大值?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 07:15:55
在三角形ABC中,B=60度,AC=√3,求AB+2BC的最大值?
在三角形ABC中,B=60度,AC=√3,求AB+2BC的最大值?
在三角形ABC中,B=60度,AC=√3,求AB+2BC的最大值?
由正弦定理,得 AC/sinB=AB/sinC=BC/sinA
又 ∠B=60°,AC=根号3,得 AC/sinB=2
∴ AB=2sinC,BC=2sinA B+C=120°
即 AB+2BC=2sin(120°- A)+4sinA
=根号3cosA+5sinA(0＜A＜2π/3)
=2根号7sin(A+α)(tanα=根号3/5)
∴当sin(A+α)=1时,取得最大值为2根号7
b=√3、B=60°，则：A＋C=120°，且：
a/sinA=c/sinC=b/sinB=2，则：
a=2sinA，c=2sinC，
所以：AB＋2BC=c＋2a=2sinC＋4sinA
=2sinC＋4sin(120°－C)
=2sinC＋2√3cosC＋2sinC
=4sinC＋2√3cosC
最大值是√[4²＋(2√3)²]=√28=2√7
AB＋2BC=c＋2a=2sinC＋4sinA
=2sinC＋4sin(120°－C)
=2sinC＋2√3cosC＋2sinC
=4sinC＋2√3cosC
由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC得a/sinA=2，c/sinC=2，所以AB+2BC=2sinC+4sinA,又因为A+C=120°,所以AB+2BC=2sin（120°-A）+4sinA=√3cosA+5sinA=2√7sin(A+φ)且tanφ=√3/5,而0°
设AB长度为x，BC长度为y，由余弦定理可得
AB*AB+BC*BC-2AB*BC*cos60=AC*AC 即
x*x+y*y-xy=3 在xy平面内，这个方程表示的图形应该是一个封闭的图形，
设x+2y=k,在xy平面内表示一条直线，将这两个方程联立，消去x，得
7y*y-5ky+k*k-3=0, 变化形式得
7（y-5k/14）^2+3k^2/28-3...
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设AB长度为x，BC长度为y，由余弦定理可得
AB*AB+BC*BC-2AB*BC*cos60=AC*AC 即
x*x+y*y-xy=3 在xy平面内，这个方程表示的图形应该是一个封闭的图形，
设x+2y=k,在xy平面内表示一条直线，将这两个方程联立，消去x，得
7y*y-5ky+k*k-3=0, 变化形式得
7（y-5k/14）^2+3k^2/28-3=0, 令此方程有重根，即上面直线和封闭曲线相切，可得最大k=√28
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