求证：当n是整数时,（2n+1）^2-1能被8整除如题

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 06:18:31
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求证：当n是整数时,（2n+1）^2-1能被8整除
如题

求证：当n是整数时,（2n+1）^2-1能被8整除如题
因为（2n+1）^2-1
=(2n+1+1)(2n+1-1)
=4n(n+1),
又因为n,n+1是两个连续整数,
所以必定能被2整除,
所以4n(n+1)是8的倍数,
即（2n+1）^2-1能被8整除.

（2n+1）^2-1=4n^2+4n=4n*(n+1)
如果n是偶数那么n+1是奇数。如果n是奇数那么n+1是偶数，无论如何
n*(n+1)都是偶数，所以是2的倍数。
所以4n*(n+1)是8的倍数

（2n+1）^2-1=4n^2+4n=4n*(n+1)
n,n+1是两个连续整数,
所以必定能被2整除,
所以4n(n+1)是8的倍数, 所以4n*(n+1)是8的倍数

原式=4n^2+4n+1-1=4n^2+4n=4(n^2+n)=4n(n+1)当n为整数时n或n+1必有一个可被2整除,则原式可被8整除

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