怎么证明:(1+X)^n>1+nX这个式子?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 21:01:17
怎么证明:(1+X)^n>1+nX这个式子?怎么证明:(1+X)^n>1+nX这个式子?怎么证明:(1+X)^n>1+nX这个式子?对(1+X)^n进行二项展开,等于x^n+nx+……+1,大于1+n

怎么证明:(1+X)^n>1+nX这个式子?
怎么证明:(1+X)^n>1+nX这个式子?

怎么证明:(1+X)^n>1+nX这个式子?
对(1+X)^n进行二项展开,等于x^n+nx+……+1,大于1+nX
二项展开的通式:
(x + a)^n = x^n + nax^(n-1) + n(n-1)a^2x^(n-2)/2 + ...+ n!/[k!(n-k)!]a^kx^(n-k) + ...+ nxa^(n-1) + a^n

要求x>0才行,否则不一定
令 f(x)= (1+x)^n -nx -1
所以f'(x)= n(1+x)^(n-1)-n = n((1+x)^(n-1) - 1 )>0
所以f(x)在x>0时,单增
所以 f(x)>f(0) = 1-0-1=0
即:(1+X)^n>1+nX

在n>=2,x>0时成立
用数学归纳法
n=2时
(1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x
假设n=k成立,即(1+x)^2>1+kx
则,n=k+1时,有
(1+x)^(k+1)
=(1+x)^k*(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+kx^2+(k+1)x>1+(k+1)x
对x>0时,n>=2成立

一种方法是用用排列组合展开
每一项都是正的,故省略前面只留下后面两项原式大于nX+1
也可用数学归纳法:
当n=1是验证成立,假设当n=k时成立,可推出n=k+1也成立,故成立。
字数限制不详细叙述