求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/01 07:04:11
求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
求证：当x>0时,不等式sinx+cosx>1+x-x^2成立.
证明：
构造函数
f(x)=(sinx+cosx)-(1+x-x²) x∈[0, +∞)
求导,可得
f'(x)=cosx-sinx-1+2x
f''(x)=-sinx-cosx+2.
显然,当x≥0时,恒有-sinx-cosx+2=2-(√2)sin[x+(π/4)]＞0
即当x≥0时,恒有f''(x)＞0
∴在区间[0,+∞)上,f'(x)=cosx-sinx-1+2x递增.
∴当x＞0时,恒有f'(x)＞f'(0)
即当x＞0时,恒有cosx-sinx-1+2x＞0
即当x＞0时,恒有f'(x)＞0
∴在区间[0,+∞)上,函数f(x)递增,
∴当x＞0时,恒有f(x)＞f(0)
即当x＞0时,恒有(sinx+cosx)-(1+x-x²)＞0
∴当x＞0时,恒有sinx+cosx＞1+x-x²
证明：
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x
因为sin2x是小于等于1大于等于-1，所以1+sin2x小于等于2大于等于0
有因为X>0
所以原式小于根号2
所以sinx+cosx小于等于根号2
而1+x-x^2=-(x-1/2)^2+5/4
明显上式小于等于5/4
因为根号2大于5/4
所以原...
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证明：
(sinx+cosx)^2=1+2sinxcosx=1+sin2x
因为sin2x是小于等于1大于等于-1，所以1+sin2x小于等于2大于等于0
有因为X>0
所以原式小于根号2
所以sinx+cosx小于等于根号2
而1+x-x^2=-(x-1/2)^2+5/4
明显上式小于等于5/4
因为根号2大于5/4
所以原式得证
证毕！
收起
sinx+cosx=√2sin(x+pai/4)大于等于√2
1+x-x^2=-（x-1/2）^2+5/4最大值等于5/4
√2大于5/4
即sinx+cosx的最小值√2大于1+x-x^2的最大值5/4
所以sinx+cosx>1+x-x^2成立
sinx+cosx=二分之根号2倍sin(x+pai/4)小于等于二分之根号2
而1+x-x^2=-（x-1/2）^2+5/4,即最大值为1
即利用sinx+cosx的最小值大于1+x-x^2的最大值即可。
如图所示，只有在0上，两函数有交点， 故只需要证明，在(0,1/2) 范围斜率f('x)>g'(x)即可。