怎样理解波动方程?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 23:42:47
怎样理解波动方程?
怎样理解波动方程?
怎样理解波动方程?
波动方程 或称波方程是一种重要的偏微分方程,它通常表述所有种类的波,例如声波,光波和水波.它出现在不同领域,例如声学,电磁学,和流体力学.波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到. 历史上,象乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究,包括达朗贝尔, 欧拉 , 丹尼尔·伯努利 ,和 拉格朗日 . 对于一个标量quantity u的波动方程的一般形式是： { \partial^2 u \over \partial t^2 } = c^2 \nabla^2u 这里c通常是一个固定 常数 ,也就是波的传播速率(对于空气中的声波大约是330米/秒, 参看音速).对于弦的振动,这可以有很大的变化范围：在螺旋弹簧上（slinky）,它可以慢到1米/秒.但若c作为波长的 函数 改变,它应该用 相速度 代替： v_\mathrm = \frac{\omega}. 注意波可能叠加到另外的运动上（例如声波的传播在 气流 之类的移动媒介中）.那种情况下,标量u会包含一个马赫因子 [1] (对于沿着流运动的波为正,对于 反射波 为负). u = u(x,t), 是振幅,在特定位置x和特定时间t的波强度的一个测量.对于 空气 中的声波就是局部气压,对于振动弦就使从静止位置的位移.\nabla^2 是相对于位置 变量 x的 拉普拉斯算子 .注意u可能是一个标量或向量. 对于一维标量波动方程的一般解是由 达朗贝尔 给出的： u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct) 其中F和G为任意函数,分别对应于前进行波,和后退行波.要决定F和G必须考虑两个初始条件： u(x,0)=f(x) u_{,t}(x,0)=g(x) 这样达朗贝尔公式变成了: u(x,t) = \frac{f(x-ct) + f(x+ct)} + \frac \int_^{x+ct} g(s) ds 在经典的意义下,如果f(x) \in C^k并且g(x) \in C^则u(t,x) \in C^k. 一维情况的波动方程可以用如下方法推导：想象一个 质量 为m的小 质点 的队列,互相用长度h的 弹簧 连接.弹簧的硬度为k : 这里u (x)测量位于x的质点偏离平衡位置的距离.对于位于x+h的质点的运动方程是： m{\partial^2u(x+h,t) \over \partial t^2}= kLINK 其中u(x)的时间依赖性变成显式的了.