sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB怎么证明?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 01:42:42
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB怎么证明?
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB怎么证明?
sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB怎么证明?
sin(A-B)=cos[pai/2-(A-B)]
=cos[(pai/2-A)+B]（这一步很关键,看清这一步是解开整个思绪的金钥匙）
=cos(pai/2-A)cosB-sin(pai/2-A)sinB
=sinAcosB-sinAsinB
曾记得在高中时,我们的数学老师告诉我一个诀窍,所有的三角函数,特别是和差化积与积化和差,都可以由一个基本公式推出,这个基本公式就是cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,这一个,是非要基本构成来证明的（所幸,教材书上已经证明了）,知道这一点,其它公式我们就不需要硬记了.
另外,本题的证明,是巧妙的把括号“剖开”再重新组合,然后再分解的证明方法,说是“瞒天过海”,一点也不过份,这就是数学的美丽之处,另外,我还可以告诉你另几个公式的证明：
1、sin(A+B)=sin[A-(-B)](很显然,到这一步之后,套用上面我们证明的公式可以得出答案,过程你可以自己推导）
2、cos(A+B)=cos[A-(-B)](很显然,到这一步之后,套用基本公式可以得出答案,过程你可以自己推导）
3、 sin(2A)=sin(A+A)(同样你可以套用上面我们证明的公式得出答案,
4、cos(2A)=cos(A+A)(用基本公式可以证明之,
5、sin[(A+B)/2]=sin{[pai+A+B-pai]/2}
=sin{[pai/2+A/2]-[pai/2-B/2]}
=sin(pai/2+A/2)cos(pai/2-B/2)-cos(pai/2+A/2)sin(pai/2-B/2)
……（按照这个思路可以推导下去,得出答案,
小结：这一整套的证明,其关键就在于两个地方,一个是刚刚我们证明过的,拆除括号重新组合的技巧,另一个就是加一个减一个pai的技巧,把握了这个原则之后,除了最基本的那一个三角函数公式需要牢牢记住以外,其它的公式,你根本不用去记它,稍加推导便可以得出
单位圆去证
先画一个单位圆，圆心为o
再在圆上以o为原点建立坐标系
再在圆上画出与x轴非负半轴夹角分别为a，b的扇形分别交圆于点P，H
过点P，H分别做向坐标系非负半轴的垂线垂足分别为M，N，其中PM交ON于点L
则∠POH为∠（a-b）
PM=sina HN=sinb OM=cosa ON=cosb PL=tan（a-b）
（下面吧上一行的等量往下面...
全部展开
先画一个单位圆，圆心为o
再在圆上以o为原点建立坐标系
再在圆上画出与x轴非负半轴夹角分别为a，b的扇形分别交圆于点P，H
过点P，H分别做向坐标系非负半轴的垂线垂足分别为M，N，其中PM交ON于点L
则∠POH为∠（a-b）
PM=sina HN=sinb OM=cosa ON=cosb PL=tan（a-b）
（下面吧上一行的等量往下面代换一下，我就不写了，你自己处理）
过点P向OH做垂线，垂足为Q，则△PHQ∽△OMQ
∵QM/HN=OM/ON 求出QM与PQ（PQ=PM-QN）
然后利用PL/OM=PQ/MQ求出tan（a-b）即PL的表达式
如果还不清楚我再想办法发图给你吧
收起
证明：∵sin（a b）=sinacosb cosasinb① sin（a-b）=sinacosb-cosasinb②① ②，得 sin（a b） sin（a-b）=2sinacosb 即sinacosb=1/2[sin(a