如何用初中知识祥细证明三角形三边高交与一点?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 13:57:54
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如何用初中知识祥细证明三角形三边高交与一点?
如何用初中知识祥细证明三角形三边高交与一点?

如何用初中知识祥细证明三角形三边高交与一点?

用初中的知识,不过必须用四点共圆,

如图,设高BE、CF交于H　,连结AH并延长交BC于D,连结DE、EF、FD

只要证明AD⊥BC即可.

因为∠HFA＋∠HEA＝180°,所以A、F、H、E四点共圆　,所以∠EAH＝∠EFH

同理：B、C、E、F四点共圆,所以∠EFC＝∠EBC　,

由上得：∠EAD＝∠EBD　,所以A、B、D、E四点共圆

所以∠ADB＝∠AEB＝Rt∠

所以AD⊥BC

或用反证法证明

三条高交于一点，叫垂心。设三角形ABC二边上的高为AD，BE，交于H点，连CH延长交AB于F只要证明CF垂直AB即可；
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
在四边形DCEH中对角之和为180度，
∴四点在一个圆上，
∴∵四边形ABDE也在同一圆上（同在AB90度弦上），
而

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三条高交于一点，叫垂心。设三角形ABC二边上的高为AD，BE，交于H点，连CH延长交AB于F只要证明CF垂直AB即可；
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
在四边形DCEH中对角之和为180度，
∴四点在一个圆上，
∴∵四边形ABDE也在同一圆上（同在AB90度弦上），
而∴DBHF四点在一个圆周上,对角之和为180度,
∴由此证明CF是AB上的高.

收起

准备定理：三角形三边上的垂直平分线相交于一点，这点是三角形的外心。

已知：△ABC三边上的高AD、BE、CF

求证：AD、BE、CF于一点

证明：过A、B、C分别作直线平行于对边，两两相交于M、N、P

∵AN∥BC、AB∥NC，  ∴四边形ABCN是平行四边形，∴AN=BC，同理PA=BC，即PA=AN，又∵AD⊥PN，即AD是PN的垂直平分线，同样可证BE、CF分别是PM、MN的垂直平分线，

∴AD、BE、CF于一点

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