如何用向量证明三角形三条中线交于一点

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/22 20:18:18

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如何用向量证明三角形三条中线交于一点

如何用向量证明三角形三条中线交于一点
AD、BE、CF是△ABC的三条中线,用向量法求证：AD、BE、CF共点.
［证明］
令BE、CF相交于O,且BO＝mOE、CO＝nOF,其中m、n为非零实数.则：
向量BO＝m向量OE、向量CO＝n向量OF.
∴向量BC＝向量OC－向量OB＝向量BO－向量CO＝m向量OE－n向量OF,
　向量FE＝向量OE－向量OF.
显然有：向量BC＝2向量FE,∴m向量OE－n向量OF＝2（向量OE－向量OF）,
∴（m－2）向量OE＝（n－2）向量OF,而向量OE、向量OF不共线,∴m－2＝n－2＝0,
∴m＝n＝2,∴BO＝2OE、CO＝2OF.
令AD、BE相交于G,利用上述结论,则有：BG＝2GE,又BO＝2OE,且O、G都在线段BE上,
∴O、G重合,∴AD、BE、CF共点.

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