若a1>0.a1≠1.a(n+1)=(2an)/(1+an) (n=1.2.3.)1.求证a(n+1）≠an ;2.令a1=1/2,写出a2,a3.a4.a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an;3.证明：存在不等于零的常数p,使{(an+p)/an}是等比数列,并求出公比q的值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:35:25
若a1>0.a1≠1.a(n+1)=(2an)/(1+an) (n=1.2.3.)1.求证a(n+1）≠an ;2.令a1=1/2,写出a2,a3.a4.a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an;3.证明：存在不等于零的常数p,使{(an+p)/an}是等比数列,并求出公比q的值
若a1>0.a1≠1.a(n+1)=(2an)/(1+an) (n=1.2.3.)
1.求证a(n+1）≠an ;
2.令a1=1/2,写出a2,a3.a4.a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an;
3.证明：存在不等于零的常数p,使{(an+p)/an}是等比数列,并求出公比q的值
若a1>0.a1≠1.a(n+1)=(2an)/(1+an) (n=1.2.3.)1.求证a(n+1）≠an ;2.令a1=1/2,写出a2,a3.a4.a5的值,观察并归纳出这个数列的通项公式an;3.证明：存在不等于零的常数p,使{(an+p)/an}是等比数列,并求出公比q的值
(1)
反证法：
若a(n+1)=an
令n=1,则a2=a1
2a1/(1+a1)=a1
(a1-1)^2=0
a1=1矛盾.
故a(n+1)≠an
(2)
a1=1/2,a2=2/3,a3=4/5,a4=8/9,a5=16/17
观察归纳出通项为an=2^(n-1) / [2^(n-1)+1]
(3)
存在p=-1
下证：{(an-1)/an}是等比数列
1-1/an
=1-(1+an)/(2an)
=1/2-1/(2an)
1-1/a(n+1)
=1/2-1/(2a(n+1))
=1/2-(1+an)/(4an)
=1/4-1/(4an)
=1/2(1-1/an)
故{(an-1)/an}是等比数列,且公比q=1/2
如果认为讲解不够清楚,
a(n+1)=(2an)/(1+an) 取倒数
1/a(n+1)=(1+an)/(2an)
1/a(n+1)=1/(2an)+an/(2an)
1/a(n+1)=1/(2an)+1/2
1/a(n+1)-1=1/(2an)-1/2
1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=1/2
所以1/an...
全部展开
a(n+1)=(2an)/(1+an) 取倒数
1/a(n+1)=(1+an)/(2an)
1/a(n+1)=1/(2an)+an/(2an)
1/a(n+1)=1/(2an)+1/2
1/a(n+1)-1=1/(2an)-1/2
1/a(n+1)-1=1/2(1/an-1)
[1/a(n+1)-1]/(1/an-1)=1/2
所以1/an-1是以1/2为公比的等比数列
即a(n+1)≠an
a2=2a1/(1+a1)
=(2*1/2)/(1+1/2)
=1/(3/2)
=2/3
a3=2a2/(1+a2)
=(2*2/3)/(1+2/3)
=(4/3)/(5/3)
=4/5
a4=2a3/(1+a3)
=(2*4/5)/(1+4/5)
=(8/5)/(9/5)
=8/9
a5=2a4/(1+a4)
=(2*8/9)/(1+8/9)
=(16/9)/(17/9)
=16/17
1/an-1=(1/a1-1)q^(n-1)
1/an-1=[1/(1/2)-1]*(1/2)^(n-1)
1/an-1=(1/2)^(n-1)
1/an=(1/2)^(n-1)+1
an=1/{[2^(n-1)+1]/2^(n-1)}
an=2^(n-1)/[2^(n-1)+1]
(a2)^2=a1*a3
[(a2+p)/a2]^2=[(a1+p)/a1]*[(a3+p)/a3]
[1+p/a2]^2=[1+p/a1]*[1+p/a3]
1+2p/a2+(p/a2)^2=1+p/a1*p/a3+p/a1+p/a3
2p/a2+(p/a2)^2=p/a1*p/a3+p/a1+p/a3
2/a2+p/(a2)^2=1/a1*p/a3+1/a1+1/a3
2/(2/3)+p/(2/3)^2=1/(1/2)*p/(4/5)+1/(1/2)+1/(4/5)
3+p/(4/9)=2*5p/4+2+5/4
1+9p/4=10p/4+5/4
p/4=-1/4
p=-1
收起