数论求证：2222的5555次方加5555的2222次方能被7整除
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 18:26:20
数论求证：2222的5555次方加5555的2222次方能被7整除
数论
求证：2222的5555次方加5555的2222次方能被7整除
数论求证：2222的5555次方加5555的2222次方能被7整除
二项展开式:
(a+b)^n=C(0,n)a^n+C(1,n)a^(n-1)b+...+C(n-1,n)ab^(n-1)+C(n,n)b^n
2222/7=317.3
2222=7*317+3=2219+3
5555/7=793.4
5555=7*793+4=5551+4
所以2222^5555
=(2219+3)^5555
=2219^5555+C(1,5555)2219^5554*3+...+C(n-1,n)2219*4^5554+3^5555
由于2219能被7整除,所以2222^5555除以7的余数和3^5555除以7的余数是一样的
同理5555^2222除以7的余数和4^2222除以7的余数是一样的
3^5555=3^(5*1111)=(3^5)^1111=243^1111=(245-2)^1111=(7*35-2)^1111
所以3^5555除以7的余数和（-2)^1111除以7的余数是一样的
4^2222=4^(2*1111)=(4^2)^1111=16^1111=(14+2)^1111
所以4^2222除以7的余数和2^1111除以7的余数是一样的
所以2222^5555+5555^2222除以7的余数和-2^1111+2^1111除以7的余数是一样的,都是0
即2222^5555+5555^2222能被7整除
2222^5555+5555^2222
=1111^11110+1111^11110
=2*1111^11110
因为1111不能被7整除
所以2*1111^11110也不能被7整除
谢谢
题目错了吧
因为1111=3(mod4),所以2222=2(mod4),5555=3(mod4)
1111=5(mod7)
原式=2222^3+5555^2=8*1111^3+25*1111^2=8*5^3+25*25=25*65=4*2=8=1(mod7)