若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/31 05:17:28
若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+

若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m
若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m

若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m
归纳法：
因为AB=BA,所以A^iB^j=A^jB^i (i,j=0,1,2,3……)
对于m=1,(A+B)^1 = A^1+B^1,原式成立
假设(A+B)^m = A^m+mA^(m-1)B+C(2,m)A^(m-2)B+...+mAB^(m-1)+B^m
则(A+B)^(m+1) = (A+B)(A+B)^m
= (A+B)[A^m+mA^(m-1)B+C(2,m)A^(m-2)B^2+...+mAB^(m-1)+B^m)]
= A^(m+1)+mA^mB+C(2,m)A^(m-1)B^2+…+mA^2B^(m-1)+AB^m
+A^mB +C(1,m)A^(m-1)B^2+C(2,m)A^(m-2)B^3+…+mAB^m+B^(m+1)
= A^(m+1)+(m+1)A^mB+ …+[C(k,m)+C(k+1,m)]A^(m-k)B^(K+1)+…+(m+1)AB^(m)
+B^(m+1)
= A^(m+1)+(m+1)A^mB+ …+C(K+1,m+1)A^(m-k)B^(K+1)+…+(m+1)AB^(m)
+B^(m+1)
得证.
PS:
C(K+1,m+1) = C(k,m)+C(k+1,m)

n阶矩阵AB满足A+2B=AB证明AB=BA n阶矩阵AB满足A+2B=AB证明AB=BA 设n阶矩阵A,B满足AB=aA+bB.其中ab不等于0,证明AB=BA. 若N阶矩阵满足A和B满足AB=BA,证明(A+B)^m=A^m+mA^m-1B+C(2,m)A^m-2B+...+B^m 设N阶矩阵A,B满足条件A+B=AB 1证明A—E是可逆矩阵,并求其逆 2证明AB＝BA 高手进~~ 数学矩阵的证明若n阶方阵a,b满足ab=ba,则称a,b是可交换的,设a和b都与c可交换,证明a+b,ab都与c可交换 设A,B是n阶方阵,满足AB=A-B,证明AB=BA N阶方阵A与B满足A+B=AB,证明AB=BA 已知矩阵A,B满足AB=BA,证明:A,B是同级方阵 设N阶矩阵A,B满足条件A+B=AB 1证明A—E是可逆矩阵,并求其逆 2证明AB＝BA 我设N阶矩阵A,B满足条件A+B=AB 1证明A—E是可逆矩阵,并求其逆 2证明AB＝BA 我看答案上第一问A-E的逆矩阵是B-E 设A,B为n阶方阵,满足A+B=BA证明A-E为可逆矩阵 若n阶矩阵A,B满足条件AB-A+2E=0,则矩阵AB-BA+2A的秩为?如题,跪谢 设n阶方阵A和B满足条件A+B=AB,证明A-E为可逆矩阵 证明不可能有n阶方阵A,B满足AB-BA=E如题 大一离散概念大一离散里的E是什么.如例题：若n阶矩阵A、B满足A²-AB=E,证明R（2A-AB+BA）=n 若矩阵AB满足Am*n*Bn*s=0,证明r(A)+r(B) 试证不存在n阶方阵A、B满足AB-BA=E(E为单位矩阵） 若矩阵A、B满足(A+B)^2=A^2+2AB+B^2,则AB=BA.这个怎么证明?