x无论取什么值对f（1-x）+f（1+x）=f(x)恒成立.求f(x）的周期f（x）奇偶性
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 17:56:00
x无论取什么值对f（1-x）+f（1+x）=f(x)恒成立.求f(x）的周期f（x）奇偶性
x无论取什么值对f（1-x）+f（1+x）=f(x)恒成立.求f(x）的周期
f（x）奇偶性
x无论取什么值对f（1-x）+f（1+x）=f(x)恒成立.求f(x）的周期f（x）奇偶性
f(x) = f（1-x）+f（1+x）
f（-x）= f（1+x）+f (1-x)
∴f（x）=f（-x） 且定义域R,即f（x）是偶函数
x=x+1带入
f(x) = f（1-x）+f（1+x).①得
f（x+1）=f(-x) +f（2+x）=f（x）+f（2+x).②
①②联立得-f（1-x）=f（2+x）
将x=x+1代入,得f(x)=-f(x+3)
x=x+3带入,得f(x+3)=-f(x+6)
既f(x)=-f(x+3)=f(x+6)
所以周期为6
首先定义域为R,关于原点对称。将x=-x代入等式，易得f(x)=f(-x)，因此为偶函数。将x=1-x代入等式，并将等式变形，可得f(x)+f(2-x)=f(1-x);f(x)-f(1+x)=f(1-x).两式相减，得f(2-x)+f(1+x)=0,将x=x-1代入，得f(x)+f(3-x)=0,即f(-x)+f(3+x)=0,与f(x)=f(-x)联立。得f(x)=-f(3+x)=f(x+6),...
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首先定义域为R,关于原点对称。将x=-x代入等式，易得f(x)=f(-x)，因此为偶函数。将x=1-x代入等式，并将等式变形，可得f(x)+f(2-x)=f(1-x);f(x)-f(1+x)=f(1-x).两式相减，得f(2-x)+f(1+x)=0,将x=x-1代入，得f(x)+f(3-x)=0,即f(-x)+f(3+x)=0,与f(x)=f(-x)联立。得f(x)=-f(3+x)=f(x+6),因此周期为6。
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