如何证明3次对称群S3与4次对称群S4同态

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/07 21:37:53

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如何证明3次对称群S3与4次对称群S4同态
我想到一个证法,不知后半部分是不是有些麻烦.
证：由于任何群只能与自己的商群同态,本题就是要证S3是S4的商群
记K4为Klien四元群,即K4={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}
显然K4是S4的正规子群,因此S4与K4可做商群S4/K4,显然S4与S4/K4同态
由于|S4|=24,|K4|=4,(|G|表示G中元素个数)
则 | S4/K4 |=6,说明 S4/K4 是一个6阶群,而6阶群只有两种：循环群和S3,
下面只需证明S4/K4与S3同构,即可说明S4与S3同态
下面我想不出太好的办法,就验证了一下 S4/K4 不满足交换律,则 S4/K4 不可能与循环群同构,那么只能与S3同构了.
从S4/K4中取了两个无素：(12)K4,(13)K4
下面来证：(12)(13)K4≠(13)(12)K4
即需证：(132)K4≠(123)K4
下面就是纯计算了,计算结果它们不相等,于是得证.
感觉最后这个证得不太好,供你参考.

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