已知过两定圆有一个交点O的动直线与两圆分别交与点AB,求线段AB中点P的轨迹方程
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 23:49:55
已知过两定圆有一个交点O的动直线与两圆分别交与点AB,求线段AB中点P的轨迹方程
已知过两定圆有一个交点O的动直线与两圆分别交与点AB,求线段AB中点P的轨迹方程
已知过两定圆有一个交点O的动直线与两圆分别交与点AB,求线段AB中点P的轨迹方程
MC⊥AO,ND⊥BO,PG⊥AB
为方便叙述,设AO=a,BO=b
则AG=BG=(a+b)/2 (G为AB中点)
GO=a-(a+b)/2 =(a-b)/2
显然△CMO∽三角NDO
∴a/2R=b/2r
∴b/a=r/R
又显然△CMO∽△GPO
∴PO/MO=GO/CO
∴PO/R=（a-b）/a=1-b/a=1-r/R=(R-r)/R
∴PO=R-r
即PO长度为定值
而PG⊥AB
故G的轨迹为以PO为直径的圆,设PO中点为F
∵PO=R-r
∴MF=R-(R-r)/2=（R+r）/2
即F为MN的中点
故G的轨迹为以MN中点为原心,以(R-r)/2为半径的圆
两圆有一个交点说明两圆相切。为简单起见，可设切点O为原点，两定园为
园C, (x-R)^2+y^2=R^2; 园c, (x-r)^2+y^2=r^2.
（事实上，其他相切的两园可通过旋转，平移化为上面两圆。）
四点O,A,B,P在同一直线上，令其斜率为k。
设A(x1,kx1),B(x2,kx2), 则x1x2非零.
点A在园C上，(x1-R)^2+(k...
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两圆有一个交点说明两圆相切。为简单起见，可设切点O为原点，两定园为
园C, (x-R)^2+y^2=R^2; 园c, (x-r)^2+y^2=r^2.
（事实上，其他相切的两园可通过旋转，平移化为上面两圆。）
四点O,A,B,P在同一直线上，令其斜率为k。
设A(x1,kx1),B(x2,kx2), 则x1x2非零.
点A在园C上，(x1-R)^2+(kx1)^2=R^2, ==> x1=2R/(1+k^2).
点B在园c上, (x2-r)^2+(kx2)^2=r^2, ==> x2=2r/(1+k^2).
设线段AB中点P(X,Y), 有Y=kX. ----(1)
又 X=(x1+x2)/2=(R+r)/(1+k^2), ----(2)
由(1)(2)消去k，可得 X=0，或 X^2+y^2=(R+r)X, 即为中点P的轨迹方程。
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以O为原点，建立平面直角坐标系,因为两定圆均过原点O，故可设其方程分别 为：x2+y2-2ax-2by=0 ①,x2+y2-2cx-2dy=0 ②,当动直线斜率存在时，设其方程为
y=kx ③
将方程③分别与方程①联立，可得;x[(1+k^2)x-2a-2bk]=0,x1=0(原点),x2=(2a+2bk)/(1=k^2)(A点横
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以O为原点，建立平面直角坐标系,因为两定圆均过原点O，故可设其方程分别 为：x2+y2-2ax-2by=0 ①,x2+y2-2cx-2dy=0 ②,当动直线斜率存在时，设其方程为
y=kx ③
将方程③分别与方程①联立，可得;x[(1+k^2)x-2a-2bk]=0,x1=0(原点),x2=(2a+2bk)/(1=k^2)(A点横
坐标），
② 与 ③联立，得；x[(1+k^2)x-2c-2dk]=0,x3=0(原点),x4=(2c+2dk)/1+k^2)(B点横坐标），设p点坐标为(x,y),则x=(x1+x2)=(a+c+bk+dk)/(1=k^2)④，
点P在直线y=kx上，将 k=y/x代入④，消去k, 整理得;x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0 ⑤
当动直线斜率不存在时，其方程为：x=0, 分别代入①、②可得A（0，2b），B(0，2d)
则AB的中点P为（0，b+d）,将此代入⑤式，仍成立。
∴所求动点P的轨迹方程为 x2+y2-(a+c)x-(b+d)y=0
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