试在曲线y=x^2-x上求一点P的坐标使P点与定点A(0,1)的距离最近
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 01:15:37
试在曲线y=x^2-x上求一点P的坐标使P点与定点A(0,1)的距离最近
试在曲线y=x^2-x上求一点P的坐标使P点与定点A(0,1)的距离最近
试在曲线y=x^2-x上求一点P的坐标使P点与定点A(0,1)的距离最近
设P(x,y),要使P点与定点A(0,1)的距离最近,那意思就是P点与A点的连线垂直于过P点的切线呀,那就是这两条线的斜率相乘等于-1.
y'=2x-1
即切线的斜率k=y'=2x-1
k(PA)=(y-1)/(x-0)
k(PA)*k=(y-1)/x*(2x-1)=-1
(y-1)*(2x-1)=-x
(x^2-x-1)*(2x-1)=-x
2x^3-x^2-2x^2+x-2x+1+x=0
2x^3-3x^2+1=0
2x^2(x-1)-(x+1)(x-1)=0
(x-1)(2x^2-x-1)=0
(x-1)(2x+1)(x-1)=0
x1=-1/2,x2=1.
y1=1/4+1/2=3/4
y2=0
即P坐标是P（1,0）或（-1/2,3/4）
经检验,P（-1/2,3/4）是最近的点.
设P(m,m²-m)为曲线y=x^2-x上一点。
则|PA|²
=m²+(m²-m-1)²
=m²+m^4+m²+1-2m³-2m²+2m
=m^4-2m³+2m+1
设f(m)=m^4-2m³+2m+1
∴ f'(m)=4m&#...
全部展开
设P(m,m²-m)为曲线y=x^2-x上一点。
则|PA|²
=m²+(m²-m-1)²
=m²+m^4+m²+1-2m³-2m²+2m
=m^4-2m³+2m+1
设f(m)=m^4-2m³+2m+1
∴ f'(m)=4m³-6m²+2
=2(2m³-3m+1)
=2(2m³-2m-m+1)
=2[2m(m-1)(m+1)-(m-1)]
=2(m-1)(2m²-m-1)
=2(m-1)²(2m+1)
∴ m>-1/2, f'(m)≥0，f(m)递增，
m<-1/2, f'(m)<0，f(m)递减，
∴ f(m)的最小值为f(1/2)=1/16+1/4-1+1=5/16
∴ m=-1/2时，|PA|²的最小值为5/16
∴ P点为(-1/2,3/4)，|PA|的最小值为√5/4
收起
设P（x，x^2-x），则距离D=√((x-0)^2+(x^2-x-1)^2)，
对D求导，并令dD=0可得x=1或者(1±√(17))/4