已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1/a+4/b的最小值是多少?

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 11:38:47
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已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1/a+4/b的最小值是多少?
已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1/a+4/b的最小值是多少?

已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1/a+4/b的最小值是多少?
y=1/a+4/b
=1/2*2*(1/a+4/b)
=1/2*(a+b)*(1/a+4/b)
=1/2*[(√a)^2+(√b)^2]*{[√(1/a)]^2+[√(4/b)]^2}
≥1/2*{[(√a) *√(1/a)]+ [(√b)* √(4/b)]}^2 (根据柯西不等式)
=1/2*(1+2)^2
=9/2
所以y的最小值是9/2

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把a+b=2代入,得,y=1/a+4/b
=(a+b)/2a+2(a+b)/b
=1/2+b/2a+2+2a/b
=5/2+b/2a+2a/b
≥5/2+2×根下b/2a×2a/b
=9/2 ,当且仅当b²=4a²取到。