老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明A,B都是n阶方阵,证明：AB与BA有相同特征值,且AB和BA的迹相同

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/26 22:40:47

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老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明
A,B都是n阶方阵,证明：AB与BA有相同特征值,且AB和BA的迹相同

老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明A,B都是n阶方阵,证明：AB与BA有相同特征值,且AB和BA的迹相同
需证明：若λ是AB的特征值,则λ也是BA的特征值.分两种情况：
(1)λ≠0.由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.
所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾).
这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值.
(2)λ=0.此时存在非零向量x使得ABx=λx=0,所以AB不满秩,知det(AB)=0.
从而det(BA)=det(AB)=0,BA不满秩,所以存在非零向量x使得BAx=0=λx.
这说明λ=0也是BA的特征值.
AB和BA的迹相同直接相乘验证即可

老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明A,B都是n阶方阵,证明：AB与BA有相同特征值,且AB和BA的迹相同老师,请问怎么证明对于每个特征值,矩阵能有的线性无关的特征向量不会超过这个特征值的重数请教关于实对称矩阵相似于对角矩阵老师您好,看了同济教材关于实对称矩阵相似于对角矩阵的证明但感觉书上并没有证明对角矩阵唯一且元是特征值,请问该怎么证老师您好~请问我依据矩阵想求它的特征值时,怎么判断是几重根?我以前一直以为化到最简看是几次方,但很多题并非如此,万分感激请问老师,怎么证明：等价矩阵有相同的标准形矩阵怎么证明矩阵A与矩阵A的转置矩阵的特征值相同线性代数问题,求老师帮忙证明,对称矩阵的特征值符号与主元符号相同请问老师,如何证明两个矩阵相似书上写的是证明两个矩阵相似与同一个对角矩阵,我们求对角矩阵不就是相当于求出一个矩阵的特征值,然后排在对角线上,那为什么还说两个矩阵特征值相同不老师您好,请问n阶矩阵一个特征值对应的特征向量的个数怎么求就是求重根的个数,比如说一个n阶矩阵有一个重根3,要知道3对应的特征向量的个数怎么证明矩阵特征值的和等于矩阵的迹特征值,特征向量.老师,您好!请问二重特征值可以只有一个特征向量么? 有关线性代数的问题请问,如何证明矩阵AB和BA有相同的特征值,还有,如果两矩阵有相同的特征值,那么这两个矩阵就一定相似吗, 请问实对称矩阵A的特征值全部大于a,实对称矩阵B的特征值全部大于b,证明A+B的特征值大于a+b.怎么证明为什么1是马尔科夫矩阵（随机矩阵）最大的特征值?我可以证明1一定是马尔科夫矩阵的特征值,请问如何证明其他特征值都小于1? 怎么证明幂零矩阵的特征值为零RT 怎么证明对称矩阵的所有特征值全是实数您好,请问如何证明矩阵A乘该矩阵A的转置为可逆矩阵? 刘老师您好,请问矩阵A*A^T与矩阵A的特征值与特征向量之间有什么关系?