一道圆锥曲线难题抛物线C的方程为X^2=4y,M为直线l:y=-m(m＞0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B1.求证直线AB恒过定点2,当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使△MAB为直角
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 09:44:02
一道圆锥曲线难题抛物线C的方程为X^2=4y,M为直线l:y=-m(m＞0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B1.求证直线AB恒过定点2,当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使△MAB为直角
一道圆锥曲线难题
抛物线C的方程为X^2=4y,M为直线l:y=-m(m＞0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B
1.求证直线AB恒过定点
2,当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使△MAB为直角三角形,并把点求出
一道圆锥曲线难题抛物线C的方程为X^2=4y,M为直线l:y=-m(m＞0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B1.求证直线AB恒过定点2,当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使△MAB为直角
1.设点A﹑B的坐标分别为(a,a2/4) (b,b2/4)
那么过A﹑B的切线方程分别为MA:y=ax/2- a2/4 MB:y=bx/2- b2/4(此步比较简单﹐可以自己算)
那么MA与MB的交点为M((a+b)/2,ab/4),可得ab/4=-m
又直线AB交y轴于点(0,-ab/4) ﹐即直线AB恒过点(0,m)
2.由上可得﹐么MA﹑MB﹑AB的斜率分别为a/2 ,b/2,(a+b)/4
首先讨论∠AMB是直角的可能性﹐即MA垂直于MB﹐斜率相乘为-1﹐
得方程a/2*b/2=-1﹐则m=1,此时∠AMB为直角.
再讨论∠ABM是直角的可能性﹐即AB垂直于MB﹐斜率相乘为-1﹐
得方程(a+b)/2*b/2=-1﹐则ab+b2=-4,得b2=0不成立﹐即∠ABM不是直角.
同理﹐∠MAB也不可能是直角.
所以m=1,此时∠AMB为直角 ab=-4
即只要在直线l:y=-1上的点﹐均满足使△MAB为直角三角形.
1. A(-2,0),B(2,0) t 2;/4+y 2;=1 y 2;=(1-t 2;/4) M(t,√(1-t 2;/4)),N(t,-√(1-t 2;/4)) R1 2;=(t+2) 2;