构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的平方/(n的平方-1)]>e的（4n-4)/6n+3)次方[（2^2/2^2-1)*（3^2/3^2-1)*……*（n^2/n^2-1）]>e^[(4n-4)/(6n+3)]
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 14:56:22
构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的平方/(n的平方-1)]>e的（4n-4)/6n+3)次方[（2^2/2^2-1)*（3^2/3^2-1)*……*（n^2/n^2-1）]>e^[(4n-4)/(6n+3)]
构造函数证明不等式
构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的平方/(n的平方-1)]>e的（4n-4)/6n+3)次方
[（2^2/2^2-1)*（3^2/3^2-1)*……*（n^2/n^2-1）]>e^[(4n-4)/(6n+3)]
构造函数证明不等式构造函数证明:[2的平方/(2的平方-1)*3的平方/(3的平方-1)*...*n的平方/(n的平方-1)]>e的（4n-4)/6n+3)次方[（2^2/2^2-1)*（3^2/3^2-1)*……*（n^2/n^2-1）]>e^[(4n-4)/(6n+3)]
不等式两边取自然对数(严格递增)有:
ln(2^2/2^2-1)+ln(3^2/3^2-1)+...+ln(n^2/n^2-1)>(4n-4)/(6n+3)
不等式左边=2ln2-ln1-ln3+2ln3-ln2-ln4+...+2lnn-ln(n-1)-ln(n+1)
=ln2-ln1+lnn-ln(n+1)=ln[n^2/(n+1)]
构造函数f(x)=ln[x^2/(x+1)]-(4x-4)/(6x+3)
对f(x)求导,有:f'(x)=[(x+2)/x(x+1)]+[1/(x+1/2)]^2
当x>2时,有f'(x)>0有f(x)在x>2时严格递增从而有
f(n)>=f(2)=ln(4/3)-4/15=0.02>0
即有ln[n^2/(n+1)]>(4n-4)/(6n+3)
原不等式等证
【解】：
∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] > e^((4n-4)/(6n+3))
∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1)
∴∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] = 2n/(n+1)
原式可化简为：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3))
构建函数：F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))
全部展开
【解】：
∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] > e^((4n-4)/(6n+3))
∵n^2/(n^2-1)=n^2/(n+1)(n-1)
∴∏{n^2/(n^2-1)}[n≥2] = 2n/(n+1)
原式可化简为：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3))
构建函数：F(n)=2n/(n+1)-e^((4n-4)/(6n+3))
其一阶导数F’(n)={2-4e^((4n-4)/(6n+3))}/(n+1)^2
∵e^((4n-4)/(6n+3))
而F[2]=4/(2+1)-e^((8-4)/(12+3))=4/3-e^(4/15)>0
所以F(n)>0 [n≥2]
即：2n/(n+1) > e^((4n-4)/6n+3))
故得证。
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