请问如何证明子集是子空间1.{[x,y,z],R^3,x=0或者y=0}2.{ [x,y,z],R^3,x^2-y^2=0}3.{f:R->R,积分[-1,1] f(x)dx=0}4.{f:R->R,f'(x)=1}我不是很明白这种条件要怎么证明加法和乘法封闭,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 11:31:52
请问如何证明子集是子空间1.{[x,y,z],R^3,x=0或者y=0}2.{ [x,y,z],R^3,x^2-y^2=0}3.{f:R->R,积分[-1,1] f(x)dx=0}4.{f:R->R,f'(x)=1}我不是很明白这种条件要怎么证明加法和乘法封闭,
请问如何证明子集是子空间
1.{[x,y,z],R^3,x=0或者y=0}
2.{ [x,y,z],R^3,x^2-y^2=0}
3.{f:R->R,积分[-1,1] f(x)dx=0}
4.{f:R->R,f'(x)=1}
我不是很明白这种条件要怎么证明加法和乘法封闭,
请问如何证明子集是子空间1.{[x,y,z],R^3,x=0或者y=0}2.{ [x,y,z],R^3,x^2-y^2=0}3.{f:R->R,积分[-1,1] f(x)dx=0}4.{f:R->R,f'(x)=1}我不是很明白这种条件要怎么证明加法和乘法封闭,
要证加法封闭,根据定义,只需在集合内任取两个元素验证它们的和是否还在集合中.
例如,你给的第二个集合,任取两个元素(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2),可知有x1^2 - y1^2 =0 和x2^2 - y2^2 =0.现在需验证(x1+x2,y1+y2,z1+z2)是否在此集合内.若其在,则需要满足(x1+x2)^2-(y1+y2)^2=0对所有(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2)都成立,易看出这是不可能的,取(3,3,0)和(4,-4,0)验证即可.所以第二个集合对加法不是封闭的,所以其不构成子空间.
再以你给的第三个集合为例,取f1和f2为其两个不同元素,则易验证 积分[-1,1] (f1(x)+f2(x))dx=0,所以其对加法封闭.
对数乘封闭的验证类似,只需在定义的数域(一般是R)上取一数a,在集合区一元素f,然后验证af是否仍在集合中.例如第三个集合,任取a数域R,f数域该集合,易看出 积分[-1,1] af(x)dx=0,故其对数乘封闭.