求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 08:05:37
求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|的最小值
求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|的最小值
求f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|的最小值
取x=1/1422,最小值=1184086/1422=832.690576652602
∵当X＜0时，|x-1|＞1，|2x-1|＞1，|3x-1|,……|2011X-1|＞1，),∴|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|＞2011, ...
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∵当X＜0时，|x-1|＞1，|2x-1|＞1，|3x-1|,……|2011X-1|＞1，),∴|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|＞2011, 当X＝0时,f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|=2011, 当0＜X＜1时，f(x)= 当x≥1时，f(x)=|x-1|+|2x-1|+|3x-1|+……+|2011X-1|=|x-1|+|x+x-1|+|x+x+x-1|+……+|x+x+x----+X-1|=2011*|x-1|+1/2*(1+2010)*2010x=2011*（x-1)+1005*2011X=2011(x-1+1005X)=2011(1006x-1） ∵x≥1，∴2011(1006x-1）≥2011*1005
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由绝对值函数的性质可知
当且仅当x=1/2011时，f(x)取最小值，
即f(x)最小值为(1+2+3+4+……+2010)/2011=(1+2010)*2010/2/2011=2010/2=1005错了该函数在区间（1/1006,1/2011）是一条对称的曲线，当X取1/2011，所得值为1005，当X取1/2010，值越来越小，当X取中间值2/3017 时，达到最小，然后逐渐增...
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由绝对值函数的性质可知
当且仅当x=1/2011时，f(x)取最小值，
即f(x)最小值为(1+2+3+4+……+2010)/2011=(1+2010)*2010/2/2011=2010/2=1005
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