设n∈N+,记An={x|2^n＜x＜2^（n+1）,且x=3m,m∈N+（1）：当n为奇数时,求An的最大数与最小数；（2）：当n为奇数时,求An中所有元素的和.希望给出完整过程,（1）2^(n+1) —1,2^n +1（2）2^(2n-1)+2^(n-1)
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 11:25:41
设n∈N+,记An={x|2^n＜x＜2^（n+1）,且x=3m,m∈N+（1）：当n为奇数时,求An的最大数与最小数；（2）：当n为奇数时,求An中所有元素的和.希望给出完整过程,（1）2^(n+1) —1,2^n +1（2）2^(2n-1)+2^(n-1)
设n∈N+,记An={x|2^n＜x＜2^（n+1）,且x=3m,m∈N+
（1）：当n为奇数时,求An的最大数与最小数；
（2）：当n为奇数时,求An中所有元素的和.
希望给出完整过程,（1）2^(n+1) —1,2^n +1（2）2^(2n-1)+2^(n-1)
设n∈N+,记An={x|2^n＜x＜2^（n+1）,且x=3m,m∈N+（1）：当n为奇数时,求An的最大数与最小数；（2）：当n为奇数时,求An中所有元素的和.希望给出完整过程,（1）2^(n+1) —1,2^n +1（2）2^(2n-1)+2^(n-1)
首先,当n为奇数时,我们来看看2^n是不是3的倍数：
2^1=2=3-1
2^3=8=3^2-1
2^5=32=3^11-1
所以猜想当n为奇数时,2^n+1是3的倍数,用数学归纳法来验证
只针对奇数的数学归纳法分为两步：
1. 证明当 n = 1 时命题成立.
2. 证明如果 n = p 成立,那么可以推导出 n = p+2 也成立.
1) 当 n = 1 时,2^1+1=3,是3的倍数
2) 如果 n = p 时,2^p+1是3的倍数.设2^p+1=3q,q∈N+,则
2^(p+2)+1=(2^2)*(2^p)+1=4*(2^p)+1=4*(2^p)+4-3=4*[(2^p)+1]-3=(4*3q)-3=3(4q-1)
∵q∈N+
∴4q-1∈N+
∴2^(p+2)+1也是3的倍数
∴由1),2)得到,当n为奇数时,2^n+1是3的倍数
我觉得到这里关键的步骤已经做完了,下面的问题就简单了.
然后再来看2^(n+1)
2^(n+1)=2*2^n=2*2^n+2-2=2*(2^n+1)-2
∵2^n+1是3的倍数
∴2^(n+1)-1=2*(2^n+1)-2-1=2*(2^n+1)-3是3的倍数
所以对于An={x|2^n＜x＜2^（n+1）,且x=3m,m∈N+}
当n为奇数时,2^n+1是大于2^n的最小的3的倍数,所以An中x的最小数为2^n+1
当n为奇数时,2^(n+1)-1是小于2^(n+1)的最大的3的倍数,所以An中x的最大数为2^(n+1)-1
∵x=3m,m∈N+
∴An中所有元素构成公差为3的等差数列
∵An中x的最小数为2^n+1,最大数为2^(n+1)-1
∴An中元素的个数为[2^(n+1)-1-(2^n+1)]/3+1=[2*(2^n)-1-(2^n)-1]/3+1=[(2^n)-2]/3+1=[(2^n)+1]/3
∴根据等差数列求和公式：Sn=(a1+an)*n/2(首项加末项乘以项数除以2)
∴SAn={[2^n+1]+[2^(n+1)-1]}*{[(2^n)+1]/3}/2={2^n+1+[(2*2^n)-1]}*[(2^n)+1]/6
∴SAn=[3*(2^n)]*[(2^n)+1]/6=[2^(n-1)]*[(2^n)+1]={[2^(n-1)]*(2^n)}+2^(n-1)=2^(2n-1)+2^(n-1)