问一下一型曲线积分和二型曲线积分从几何上有没联系?两者差别在哪?另外二型曲面积分是投影面积,一型曲面积分是表面积?如果被积函数为1，那么第二类曲线积分就变成黎曼二重积分了，

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 08:11:07
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问一下一型曲线积分和二型曲线积分从几何上有没联系?两者差别在哪?
另外二型曲面积分是投影面积,一型曲面积分是表面积?
如果被积函数为1，那么第二类曲线积分就变成黎曼二重积分了，不就是投影面积么？（对不起，我没问清楚）

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从几何上说,他们的积分路径都是曲线,所以都是沿线积分.
差别你可以这样理
第一类曲线积分就是曲线上每一点都有密度,求的是曲线的质量.
第二类曲线积分曲线是路径,变力沿路径做功,求的是这个功.
第一类曲线积分的积分元是ds,而第二类曲线积分的积分元是Pdx+Qdy.
另外还有一点你理解错了,第二型曲面积分不是投影面积.
第一类曲面积分和第一类曲线积分类似,是知道曲面上每一点的密度,求整个曲面的质量.
第二类曲面积分可以理解成已知流速,求单位时间内从曲面一侧（负侧）流到另一侧（正侧）的总流量.
积分号不好打,我就以f代替了
第二类曲线积分的形式是ffP(x,y,z)dydz+ffQ(x,y,z)dzdx+ffR(x,y,z)dxdy
你说的函数为1,则变成了ffdydz+ffdzdx+ffdxdy,所以是曲面关于三个平面的投影的和.
如果你把函数变成P=Q=0,R=1,则变成了你说的在xy平面上的投影.

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