怎么求隐函数的导数?举例说明!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 20:56:31
怎么求隐函数的导数?举例说明!
怎么求隐函数的导数?举例说明!
怎么求隐函数的导数?举例说明!
方程两边分别对x求导,把y看成关于x的函数
比如
x^2+y^2-1=0
方程两边分别对x求导
2x+2y*y'=0
y'=-x/y
求隐函数的导数就是在方程中求导数
比如说Y=2X+5这个就是显函数
而2X-Y+5=0这个就是隐函数
举例
对2X-Y+5=0隐函数中对Y求导
dy/d2x-1=0
dy/dx=2
隐函数的导数
设方程P(x, y)=0确定y是x的函数, 并且可导. 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.
例1 方程 x2+y2-r 2=0确定了一个以x为自变量, 以y为因变量的数, 为了求y对x的导数, 将上式两边逐项对x求导, 并将y2看作x的复合函数, 则有
(x2)+ (y2)- (r 2)=0,
即 2x+2y =0,
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隐函数的导数
设方程P(x, y)=0确定y是x的函数, 并且可导. 现在可以利用复合函数求导公式可求出隐函数y对x的导数.
例1 方程 x2+y2-r 2=0确定了一个以x为自变量, 以y为因变量的数, 为了求y对x的导数, 将上式两边逐项对x求导, 并将y2看作x的复合函数, 则有
(x2)+ (y2)- (r 2)=0,
即 2x+2y =0,
于是得 .
从上例可以看到, 在等式两边逐项对自变量求导数, 即可得到一个包含y¢的一次方程, 解出y¢, 即为隐函数的导数.
例2 求由方程y2=2px所确定的隐函数y=f(x)的导数.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
2y y¢=2p,
解出y¢即得
.
例3 求由方程y=x ln y所确定的隐函数y=f(x)的导数.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
y¢=ln y+x× ×y¢,
解出y¢即得 .
例4 由方程x2+x y+y2=4确定y是x的函数, 求其曲线上点(2, -2)处的切线方程.
解: 将方程两边同时对x求导, 得
2x+y+x y¢+2y y¢=0,
解出y¢即得
.
所求切线的斜率为
k=y¢|x=2,y=-2=1,
于是所求切线为
y-(-2)=×(x-2), 即y=x-4.
参考资料：导数的基本公式与运算法则
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