问 lim x->0 √(1+xsinx)-cos/x(e^x-1) 帮我写写过程和用到的定理,

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 21:41:24
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问 lim x->0 √(1+xsinx)-cos/x(e^x-1) 帮我写写过程和用到的定理,
你这道题的分母是不是lim x->0 √(1+xsinx)-cosx啊,是忘了一个中括号吗?
先用等价无穷小,x->0时,(e^x-1)等价于x
原式=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x(e^x-1)
=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x^2
=lim x->0 (1+xsinx-cos^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [1+xsinx-(1-sin^2x)]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 (xsinx+sin^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)sinx]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)x]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0时,sinx等价于x)
=lim x->0 (x^2+x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 x^2/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0时,x^2+x等价于x^2)
=lim x->0 1/[√(1+xsinx)+cosx]
=1/2 (将x=0带入)